西安交通大学IE'ANJIAOTONGUNIYEESITY第贝节控制系统根轨迹的绘制
1 第四节 控制系统根轨迹的绘制
西安交通大学IE'ANJLAOTONGUNIVEESITY4.4#控制系统根轨迹的绘制前面学习了根轨迹的基本概念和绘制基本准则（性质）：这里将手工绘制控制系统根轨迹的步骤罗列如下：标注开环极点“X”和零点○确定实轴上的根迹区间；画出n-m条渐进线。其与实轴的交点（称为重心）和倾角分别为：Zp,-Zzi(2k + 1)元k =0,±1,±2,±3...-0n-mn-m计算极点处的出射角和零点处入射角：出射角=元－（从其他极点到该极点的矢量幅角）+（从其他零点到该极点的矢量幅角）入射角=元+乙（从各个极点到该零点的矢量幅角）-乙（从其他零点到该零点的矢量幅角）2
2 前面学习了根轨迹的基本概念和绘制基本准则（性质）， 这里将手工绘制控制系统根轨迹的步骤罗列如下： 标注开环极点“ ”和零点 “ ”； ○ 画出n-m条渐进线。其与实轴的交点（称为重心）和倾角分 别为： , 0, 1, 2, 3. (2 1) ; = − + = − − − = − k n m k n m p z j i 确定实轴上的根迹区间； 计算极点处的出射角和零点处入射角： = − + （ ） （ ） 从其他零点到该极点的矢量幅角 出射角 从其他极点到该极点的矢量幅角 = + − （ ） （ ） 从其他零点到该零点的矢量幅角 入射角 从各个极点到该零点的矢量幅角 4.4 控制系统根轨迹的绘制
西安交通大学IE'ANJLROTONAENIVEESTY4.4控制系统根轨迹的绘制计算根轨迹和虚轴的交点；计算会合点和分离点： 由N'(s)D(s)-N(s)D'(s)=O求解元分离角0。="n利用前几步得到的信息绘制根轨迹注意：?后两步可能不存在：〇在判断大致形状时，需知道根轨迹的支数、连续性和对称性3
3 计算根轨迹和虚轴的交点； 计算会合点和分离点： n d 分离角 = 由N(s)D(s)-N(s)D(s) = 0求解 利用前几步得到的信息绘制根轨迹。 注意： 后两步可能不存在； 在判断大致形状时，需知道根轨迹的支数、连续性和对称性。 4.4 控制系统根轨迹的绘制
西安交通大学E'ANJIROTONGNIVEESTY4.4控制系统根轨迹的绘制一、单回路负反馈系统的根轨迹前面所讨论的根轨迹（180度根轨迹）是基于单回路负反馈系统的。18画根[例开环传递函数为：G,(s)=s(s + 2)[(s + 3)? +16] '轨迹。[解]：①标出四个开环极点：0，-2，3±j4。有四条根轨迹23)实轴上根轨迹区间是：[-2，0];3元(2k +1)元元③渐进线倾角：=+与实轴的交点为：+44n-mZp,-Zzi0+2+6-20=4n-m5
5 一、 单回路负反馈系统的根轨迹 前面所讨论的根轨迹（180度根轨迹）是基于单回路负反 馈系统的。 [例]开环传递函数为： ，画根 轨迹。 ( 2)[( 3) 16] ( ) 2 + + + = s s s k G s g k ②实轴上根轨迹区间是：[-2，0]； ③渐进线倾角： , 与实轴的交点为： 4 3 , 4 (2 1) = − + = n m k 2 4 0 2 6 = − + + = − − − − = − n m p z j i [解] ：①标出四个开环极点：0，-2，− 3 j4 。有四条根轨迹。 4.4 控制系统根轨迹的绘制
西安交通大学EE'ANJIROTONGNIVEESTY4.4控制系统根轨迹的绘制j4④-3+4j处的出射角，：00 =元-(β, +β, +β)4BB+元-tg-4+90°)=-141.9三元一1933根据对称性，可知-3-i4处的出射角,为：,=141.9°与虚轴的交点：闭环特征方程为：34+8s3+37s?+50s+k。=0劳斯阵为：-Jj437.4481当劳斯阵某一行全为零时，有共S8500s轭虚根。这时，k。=192.2。0430.752s辅助方程为：30.75s2+192.2=0，1537.5-8k解得共轭虚根为：S1.2=土j2.500s30.75即为根轨迹与虚轴的交点。So00hg6
6 ④-3+4j处的出射角 1 ： −3 − 2 j4 − j4 0 1 2 3 1 4 90 ) 141.9 3 4 ( ( ) 1 1 1 1 2 3 = − − + − + = − = − + + − − t g t g 根据对称性，可知-3-j4处的出射 角 2 为： 2 =141.9 ⑤与虚轴的交点：闭环特征方程为： 8 37 50 0 4 3 2 s + s + s + s + kg = 劳斯阵为： 0 0 0 0 30.75 1537.5 8 30.75 0 8 50 0 1 37 0 1 2 3 4 g g g g k k k k s s s s s − 当劳斯阵某一行全为零时，有共 轭虚根。这时， kg =192.2 。 辅助方程为： ， 解得共轭虚根为： 30.75 192.2 0 2 s + = s1,2 = j2.5 即为根轨迹与虚轴的交点。 4.4 控制系统根轨迹的绘制