三、柯西中值定理 f(x)及F(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上都连续 何西。AL (2)在开区间(4，b)内都可导 (3)在开区间(a,b)内F'(x)≠0 > 至少存在一点5∈(a,b),使 f(b)-f(a)f'(5) F(b)-F(a）F'(5) 分析：F(b)-F(a)=F'(n)(b-a)≠0 a<7<b 问题转化为证 f(b)-f(a F(b)-F(a) F'(5)-f'(5)=0 '(5) 构造辅助函数 p(x)= f(b)-f(a) F(x)-f(x) F(b)-F(a) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 和西 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 三、柯西中值定理 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) F f F b F a f b f a ( ) 分析: f (x) 及 (1) 在闭区间 [ a , b ] 上都连续 (2) 在开区间 ( a , b ) 内都可导 (3)在开区间 ( a , b ) 内 至少存在一点 (a,b) , 使 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F f F b F a f b f a F(x) 满足 : F(x) 0 F(b) F(a) F()(b a) 0 a b 问题转化为证 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x f x F b F a f b f a x 柯西 构造辅助函数
证：作辅助函数p(x)= f(b)-f(a) F(x)-f(x) F(b)-F(a) 则o(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 p(a)= f(b)F(a)-f(a)F( 2=o(b) F(b)-F(a) 由罗尔定理知，至少存在一点5∈(a,b),使p'(5)=0,即 f(b)-(a)f'(5) F(b)-F(a)F'(5) 思考：柯西定理的下述证法对吗？ .f(b)-f(a=f'(5(b-a),5∈(a,b) 两个专不 F(b)-F(a=F'(5(b-a),5∈(a,b) 一定相同 上面两式相比即得结论.错！ BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 证: 作辅助函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x f x F b F a f b f a x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b F b F a f b F a f a F b a 则(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导, 且 由罗尔定理知, 至少存在一点 (a, b),使 ( ) 0,即 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F f F b F a f b f a 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? f (b) f (a) f ( )(b a), (a, b) F(b) F(a) F( )(b a), (a, b) 两个 不 一定相同 上面两式相比即得结论. 错!
柯西定理的几何意义： f(b)-f(a) f'(5) F(b)-F(a) F'(5) 弦的斜率 切线斜率 [x=F(t) ly-f@) f(b) 注意 dy-f( f(a) dx F'(t) F(a)F(5) F(b)x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 柯西定理的几何意义: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F f F b F a f b f a F(a)F() ( ) ( ) y f t x F t f (a) F(b) f (b) ( ) ( ) d d F t f t x y 注意: 弦的斜率 切线斜率 x y O