定理2（拉格朗日中值定理 y=f(x) y=∫(x)满足： =b)-a) b-a (1)在区间[a,b]上连续 (2)在区间(a,b)内可导 a E b x 至少存在一点5e(a,b),使f'(5)= f(b)-f(a) 证：问题转化为证 f"(5)- f(b)-f(a)=0 b-a b-a 作辅助函数 P(x)=f(x)-I(b)-f(a) b-a 显然，p(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 gg陀 p(a) bf(a)-af)=o(b),由罗尔定理知至少存在一点 b-a 5∈(a,b),使p'(5)=0,即定理结论成立.证毕 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 拉因 日录 上页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理2（拉格朗日中值定理） ( ) (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 y f (x) 满足: (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点 (a,b) , 使 . ( ) ( ) ( ) b a f b f a f 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 作辅助函数 显然 , (x) 在[a, b] 上连续, 在(a, b)内可导, 且 证: 问题转化为证 (x) f (x) x b a f b f a ( ) ( ) (a) 由罗尔定理知至少存在一点 (a,b), 使( ) 0, 即定理结论成立 . (b), b a b f a a f b ( ) ( ) 拉氏 0 ( ) ( ) ( ) b a f b f a f 证毕 x y a b y f (x) O y x b a f b f a ( ) ( )
拉格朗日中值定理的有限增量形式： 令a=x,b=x+△x,则 △y=f'(x+0△x)△x(0<0<1) 推论1若函数f(x)在区间I上满足f'(x)≡0，则f(x) 在I上必为常数 证：在1上任取两点x1,x2(x1<x2),在[x,x2]上用拉 格朗日中值公式，得 f(x2)-f(x,)=f'(5(x2-x)=0(x1<5<x2) f(x2)=f(x) 由x1,x2的任意性知，f(x)在I上为常数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 , ( , ) ( ) ( ) ( ) a b b a f b f a f 拉格朗日中值定理的有限增量形式: 推论1 若函数 在区间 I 上满足 f (x) 0, 则 f (x) 在 I 上必为常数. f (x) 证: 在 I 上任取两点 , ( ), 1 2 1 2 x x x x 在[x1 , x2 ]上用拉 格朗日中值公式 , 得 f (x2 ) f (x1 ) f ( )(x2 x1 ) 0 ( ) 1 2 x x ( ) ( ) 2 1 f x f x 由 的任意性知, 1 2 x , x f (x)在 I 上为常数 . ( ) (0 1) y f x0 x x , , 0 0 令 a x b x x 则
推论2如果在区间(a,b)内恒有 f(x)=g'(x),)=g(x)+C. 证：对任意 x∈(a,b),[f(x)-8(x)]'=f'(x)-8'(x)=0 由推论1知 f(x)-g(x)=C,f(x)=g(x)+C. 说明导函数相等的两个函数相差一个常数， BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 推论2 如果在区间(a，b)内恒有 f ′(x)＝g′(x)，则f(x)＝g(x)＋C. 证: 对任意 x(a,b),[ f (x) g(x)]' f '(x) g'(x) 0. 由推论1知 f (x) g(x) C, 即 f (x) g(x) C. 说明导函数相等的两个函数相差一个常数
例3.1.4证明恒等式arcsin x+arccosx= 2 x∈[-1,1] 证：设f(x)=arcsinx+arccosx,则在(-l,1)上 f'(x)= 1-x21-x2 三 由推论可知 f(x)=arcsinx+arccosx=C(常数) 元 令x=0,得C= 2 又fe)=2 故所证等式在定义域[-1,1]上成立 经验：欲证x∈I时f(x)=Co,只需证在I上f'(x)≡0 且3x∈I,使f(x)=Co 自证：arctan x+arccotx=,x∈(-o,+o） BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 例3.1.4 证明恒等式 , [ 1,1]. 2 π arcsin x arccos x x 证: 设 f (x) arcsin x arccos x , 则在(1,1)上 f (x) 由推论可知 f (x) arcsin x arccos x C (常数) 令 x = 0 , 得 . 2 π C 又 , 2 π f (1) 故所证等式在定义域 [1,1]上成立. 自证: , x(, ) 2 π arctan x arc cot x 2 1 1 x 2 1 1 x 0 经验: 欲证 x I 时 ( ) , C0 f x 只需证在 I 上 f (x) 0, , 0 且 x I ( ) . 0 C0 使 f x
例3.1.5证明不等式 <ln1+x)<x(x>0) 1+x 证：设f(t)=ln(1+t),则f(t)在[0，x]上满足拉格朗日 中值定理条件，因此应有 f(x)-f(0)=f'(5)x-0),0<5<x 即 n0+)1 X 0<5<x 因为 X <X 1+x 1+5 故 x<In(1+x)<x (x>0) 1+x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 自录上页 下负返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 例3.1.5 证明不等式 证: 设 f (t) ln(1 t) , 则 f (t)在[0, x]上满足拉格朗日 中值定理条件, 即 因为 故 ln(1 ) ( 0). 1 x x x x x f (x) f (0) ln(1 x) x x , 0 1 1 x x x 1 x ln(1 ) ( 0) 1 x x x x x f ( )(x 0), 0 x 因此应有