《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第三章 矩阵的运算 §3.3 初等矩阵

第三章矩阵的运算 1.初等矩阵都是可逆矩阵 2.初等矩阵的逆矩阵仍然是同类形的初等矩阵 E(i,)1=E(i,); E((k)E(i() E(k),i)=E(j(-k),). 3.对矩阵进行初等变换，可以用相应的初等矩阵 左乘或右乘矩阵来表示

第三章 矩阵的运算 1 1 1 ( , ) ( , ); 1 ( ( )) ( ( )); ( ( ), ) ( ( ), ) . E i j E i j E i k E i k E j k i E j k i − − − = = = − 2.初等矩阵的逆矩阵仍然是同类形的初等矩阵 3.对矩阵进行初等变换，可以用相应的初等矩阵 左乘或右乘矩阵来表示. 1.初等矩阵都是可逆矩阵

第三章矩阵的运算 例如 1 L12 0i2 A= 。 0 (m2

第三章 矩阵的运算 11 12 1 1 2 1 2 1 2 n i i in j j jn m m mn a a a a a a A a a a a a a     =   例如

第三章矩阵的运算 用m阶初等矩阵Em亿，j)左乘A,得 11 12 g ←第i行 E (i,)A= . .: m ←第j行 (m2 相当于对矩阵A施行第一种初等行变换： 把A的第i行与第j行对调（分r;)

第三章 矩阵的运算 ( , ) 用m E i j A 阶初等矩阵 m 左乘 ，得 11 12 1 1 2 1 2 1 2 ( , ) n j j jn m i i in m m mn a a a a a a E i j A a a a a a a           =              第 i 行  第 j 行 ( ). i j A i j r r A 把 的第 行与第 行对调  相当于对矩阵 施行第一种初等行变换：

第三章矩阵的运算 类似地， 以n阶初等矩阵E,(i,)右乘矩阵A, j AE,(i,j)= 21 02i 021 。 j mn 相当于对矩阵A施行第一种初等列变换： 把A的第i列与第j列对调(c:分c;):

第三章 矩阵的运算 ( , ) n E i j A n 类似地， 以 阶初等矩阵 右乘矩阵 ， 11 1 1 1 21 2 2 2 1 ( , ) j i n j i n n m mj mi mn a a a a a a a a AE i j a a a a       =         ( ). i j A i j c c A 把 的第 列与第 列对调  相当于对矩阵 施行第一种初等列变换：