设 M(xo,yo),N(x,y).割线MN的斜率为。f(x)- f(xo)y-yotan @ = -x-xox-xo沿曲线CN.>M,ytV=x→xo'T切线MT的斜率为Mk =tanαCOYQ1f(x)- f(xo)可xox= limxx→xox-xo
( , ), 0 0 设 M x y 0 0 tan x x y y − − = , ( ) ( ) 0 0 x x f x f x − − = N k = tan 0 0 ( ) ( ) x x f x f x − − = N(x, y). 割线MN的斜率为 , x → x0 切线MT的斜率为 ⎯沿曲线 ⎯⎯C →M, x0 x T x y O y = f ( x) C N • M 0 lim x→x
上述两例，就其实际意义来说各不相同，分别属于运动学、几何学中的问题，但在数量关系上确有如下的共性1在问颠提注上都其已知一个函V三x)娄在现实生活中，凡涉及变化率的问题，其精确描述和计算都离不开此式所规定的这一运算。(2)当变化是非作平均变化率的Ayf(x。 +△x)- f(x)lim极限运算：limAr→0 △xAxr-→0△x
y = f (x), 就其实际意义来说各不相同, 关系上确有如下的共性: 但在数量 1. 在问题提法上,都是已知一个函 数求y关于x在x0处的变化率. 2. 计算方法上, (1) 当y随 x均匀变化时,用除法. (2) 当变化是非均匀的时,需作平均变化率的 x y x →0 lim 在现实生活中,凡涉及变化率的问 题,其精确描述和计算都离不开此式所 规定的这一运算. 上述两例, 分别属于运动学、几何学中的问题, x f x x f x x + − = → ( ) ( ) lim 0 0 0 极限运算:
二、导数的定义定义设函数y= f(x)在点x的某个邻域内有定义,当自变量从x,变到 x。+ △x 时,函数= f(x)的增量Ay= (x+△x)-f(x)与自变量的增量△x之比Ay - f(x +Ax)- f(x)AxAx称为f(x)的平均变化率
定义 设函数 y = f ( x)在 点x0的某个邻域内 x f x x f x x y + − = ( ) ( ) 0 0 称 为f ( x)的 , 当自变量从 x0 变 到 x0 + x 时 ( ) ( ) ( ) 0 0 y = f x 的增量y = f x + x − f x 函数 变量的增量x 之 比 与自 平均变化率. 有定义, 二、导数的定义
函数在一点x.处的变化率如△x→0,平均变化率的极限：Ayf(x +A)- f(x)(1)limlimAr-→0ArAr→0 △x存在,则称此极限值为f(x)在x,处的导数并说f(x)在x,处可导或有导数.可用下列记号dydf(x)或, f'(x)x=xodxdxlx=xoX=Xo中的任何一个表示,如f(xo + △x)- f(xo)f'(x)= lim Ax4x-→>0
如x →0, 并说f (x)在x0 处可导 , 0 x x y = ( ) x0 f 中的任何一个表示, f (x0 ) = x y 存在, 如 平均变化率的极限: (1) ( ) ( ) lim 0 0 0 x f x x f x x + − = 0 → lim x→ ( ) . f x 在x0 处的导数 , 或 d d x x0 x y = 0 d d ( ) x x x f x = x f x x f x x ( ) ( ) lim 0 0 0 + − → 函数在一点 x0 处的变化率 或有导数.可用下列记号 则称此极限值为
f(xo +△x) - f(xo)(1)f'(xo)= limAv0Ax当极限(1)式不存在时,就说函数 f (x)在xo处不可导或导数不存在.特别当(1)式的极限为正(负)无穷时有时也说在处导数是正(负)无穷大，但这时导数不存在在利用导数的定义证题或计算时,要注意注导数定义可以写成多种形式：f(xo +h)- f(xo)f'(xo) = limhh0f(xo-h )- f(xo)f'(xo) = lim-h-0
处不可导或导数不存在. 特别当(1)式的极限为 有时也说在x0处导数是正(负)无 注 要注意 导数定义可以写成多种形式: , ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 f x f x f x + − = → . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 f x f x f x − = → 当极限(1)式不存在时, 就说函数 f (x)在x0 在利用导数的定义证题或计算时, 正(负)无穷时, 穷大,但这时导数不存在. (1) ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x f x x f x f x x + − = → x x x h h h − h − h − h