84.3层和预层131。考虑乘积空间S0×S0的子拓扑空间S°。S0=((s1,82)元(s1）=(s2))以及映射S0S0→S，（s1,s2）→S1+$2.则此映射为连续映射。事实上，设元(s1)=元(s2)=p,则存在 p附近的光滑函数f,9,使得 si=[f]p，S2=[9]p,映射（f]p，[g]p）→[f+9]，关于我们定义的拓扑显然是连续的我们称s0为M上光滑函数的芽层，元为层投影，C(p)=π-1(p）为p处光滑函数的芽，也记为Sp一般地，我们可以定义关于交换群的层的概念定义4.3.1（层）.设元：S→M是从拓扑空间S到黎曼曲面M的连续满射如果满足以下条件(1)元为局部同胚;(2)任给mEM,元-1(m）为交换群；(3)群的运算S→S,SH-S,VSES及SoS→S, ($1,82)-→81+ 82均为连续映射，其中SoS=((81,82)eS×S[(s1)=(s2)为乘积空间S×S的子拓扑空间.则称S为M上的层（sheaf)，元称为层投影，Sm=元-1(m）称为m上的茎(stalk)例4.3.1.平凡层设G为交换群，赋以离散拓扑.令S=M×G，映射π：M×G→M为向第一个分量的投影：显然，元满足上述定义中的条件，因此S为M上的层，称为平凡层.特别地，分别取G为0,Z,R,C得到的平凡层在不引起混淆的情况下分别记为0,Z,R, C.例4.3.2.摩天大厦层设G为交换群，PEM.令Sp=MIIG/p～0EG，这是一个商空间，其拓扑由两类开集组成：一类是原M中不含p的开集，另一类是M中含p的开集去掉点P后和G中若干元素的并.令π：S→M为(m) =m, VmeM; π(g)=p, VgeG.容易由定义验证Sp为M上的层.Sp在p上的茎为G,在其它点的茎为0.称Sp为关于p的摩天大厦层
§4.3 层和预层 131 • 考虑乘积空间 S 0 ˆ S 0 的子拓扑空间 S 0 ˝ S 0 “ tps1, s2q | πps1q “ πps2qu 以 及映射 S 0 ˝ S 0 Ñ S 0 , ps1, s2q ÞÑ s1 ` s2. 则此映射为连续映射. 事实上, 设 πps1q “ πps2q “ p, 则存在 p 附近的光滑函数 f, g, 使得 s1 “ rfsp, s2 “ rgsp, 映射 prfsp,rgspq ÞÑ rf ` gsp 关于我们定义的拓扑显然是连续的. 我们称 S 0 为 M 上光滑函数的芽层, π 为层投影, C 8ppq “ π ´1 ppq 为 p 处光滑函 数的芽, 也记为 S 0 p . 一般地, 我们可以定义关于交换群的层的概念. 定义 4.3.1 (层). 设 π : S Ñ M 是从拓扑空间 S 到黎曼曲面 M 的连续满射. 如果满足以下条件 p1q π 为局部同胚; p2q 任给 m P M, π ´1 pmq 为交换群; p3q 群的运算 S Ñ S, s ÞÑ ´s, @ s P S 及 S ˝ S Ñ S, ps1, s2q ÞÑ s1 ` s2 均为连续映射, 其中 S ˝ S “ tps1, s2q P S ˆ S | πps1q “ πps2qu 为乘积空间 S ˆ S 的 子拓扑空间. 则称 S 为 M 上的层 (sheaf ), π 称为层投影, Sm “ π ´1 pmq 称为 m 上的茎(stalk). 例 4.3.1. 平凡层. 设 G 为交换群, 赋以离散拓扑. 令 S “ M ˆ G, 映射 π : M ˆ G Ñ M 为向第 一个分量的投影. 显然, π 满足上述定义中的条件, 因此 S 为 M 上的层, 称为平凡 层. 特别地, 分别取 G 为 0,Z, R, C 得到的平凡层在不引起混淆的情况下分别记为 0,Z, R, C. 例 4.3.2. 摩天大厦层. 设 G 为交换群, p P M. 令 Sp “ M šG{p ∼ 0 P G, 这是一个商空间, 其拓扑由 两类开集组成: 一类是原 M 中不含 p 的开集, 另一类是 M 中含 p 的开集去掉点 p 后和 G 中若干元素的并. 令 π : Sp Ñ M 为 πpmq “ m, @ m P M; πpgq “ p, @ g P G. 容易由定义验证 Sp 为 M 上的层. Sp 在 p 上的茎为 G, 在其它点的茎为 0. 称 Sp 为关于 p 的摩天大厦层
第四章曲面与上同调132类似地，给定M上的有效因子D=Zni·Pi，我们也可以定义一个层Sp，使得这个层在pi上的茎为G④G④..·G(ni个G的直和),而在其他点的茎为0.这也称为摩天大厦层例4.3.3.全纯函数的芽层在本节开头我们定义了光滑函数的芽层.在定义的过程中，如果把“光滑函数”都换成“全纯函数”，则也得到一个层，称为全纯函数的芽层.具体来说，设U为黎曼曲面M中的开集，记OU）为U内全纯函数的全体.任给pEM，定义p处全纯函数的芽为Op = I [o(U)/ ~ .Uap其中，等价关系～定义如下：f eO(U)~ geO(V)FW c Un V, 使得 peW, flw =glw如同光滑函数的芽层那样，令O=,Op，并在の上定义适当的拓扑使之成为M上的层，称为全纯函数的芽层或结构层类似地，如果考虑p形式或（p,q）形式，我们就得到相应的层，分别记为SP和SP-9.这样的构造其实可以一般化，为此我们先引入层的截面的概念定义4.3.2（层的截面).设S为黎曼曲面M上的层，元为层投影.设U为M中的开集，f：U→S为连续映射.如果满足条件πof=idu，即f(m)eSmVmEU,则称f为层S在U上的截面.U上截面的全体记为I(S,U)，在T(S,U)中可以引入自然的加法运算使之成为交换群。当U=M时，截面的全体简记为I(S).T(S)中的零元称为零截面，这是从M到S的映射，它把meM映为交换群Sm中的零元.例4.3.4.平凡层的截面，设G为交换群，M为连通黎曼曲面.S=M×G为平凡层.设f：M→M×G为层的截面.给定moEM，设f(mo)=(mo,9o),则必有f(m)=(m,9o)VmEM.事实上，设πG：M×G→G是向第二分量的投影，则复合映射πGf：M→G为连续映射.由于G的拓扑是离散拓扑，因此πc。f为常值映射.这就说明，I(S）和交换群G是自然同构的例4.3.5.摩天大厦层的截面设S,是第二例中定义的摩天大厦层，f：M→S为层的截面.显然，当m≠p时,f(m)= m;当 m=p时,f(m)=f(p)eG,f(p)可以是 G 中任意元素.因此I(Sp)和交换群G也是自然同构的.类似地，对于因子D,有T(Sp)③n,G
132 第四章 曲面与上同调 类似地, 给定 M 上的有效因子 D “ ř i ni ¨ pi , 我们也可以定义一个层 SD, 使 得这个层在 pi 上的茎为 G ‘ G ‘ ¨ ¨ ¨ ‘ G(ni 个 G 的直和), 而在其他点的茎为 0. 这也称为摩天大厦层. 例 4.3.3. 全纯函数的芽层. 在本节开头我们定义了光滑函数的芽层. 在定义的过程中, 如果把 “光滑函数” 都换成 “全纯函数”, 则也得到一个层, 称为全纯函数的芽层. 具体来说, 设 U 为黎 曼曲面 M 中的开集, 记 OpUq 为 U 内全纯函数的全体. 任给 p P M, 定义 p 处全 纯函数的芽为 Op “ ž UQp OpUq{ ∼ . 其中, 等价关系 ∼ 定义如下: f P OpUq ∼ g P OpV q ðñ D W Ă U X V, 使得 p P W, f|W “ g|W . 如同光滑函数的芽层那样, 令 O “ Y pPM Op, 并在 O 上定义适当的拓扑使之成为 M 上的层, 称为全纯函数的芽层或结构层. 类似地, 如果考虑 p 形式或 pp, qq 形式, 我们就得到相应的层, 分别记为 S p 和 S p,q . 这样的构造其实可以一般化, 为此我们先引入层的截面的概念. 定义 4.3.2 (层的截面). 设 S 为黎曼曲面 M 上的层, π 为层投影. 设 U 为 M 中的开集, f : U Ñ S 为连续映射. 如果 f 满足条件 π ˝ f “ idU , 即 fpmq P Sm, @ m P U, 则称 f 为层 S 在 U 上的截面. U 上截面的全体记为 ΓpS, Uq, 在 ΓpS, Uq 中可以引入自然的加法运算使之成为交换群. 当 U “ M 时, 截面的全体简记为 ΓpSq. ΓpSq 中的零元称为零截面, 这是从 M 到 S 的映射, 它把 m P M 映为交换 群 Sm 中的零元. 例 4.3.4. 平凡层的截面. 设 G 为交换群, M 为连通黎曼曲面, S “ M ˆG 为平凡层. 设 f : M Ñ M ˆG 为层的截面. 给定 m0 P M, 设 fpm0q “ pm0, g0q, 则必有 fpmq “ pm, g0q, @ m P M. 事实上, 设 πG : M ˆ G Ñ G 是向第二分量的投影, 则复合映射 πG ˝ f : M Ñ G 为 连续映射. 由于 G 的拓扑是离散拓扑, 因此 πG ˝ f 为常值映射. 这就说明, ΓpSq 和 交换群 G 是自然同构的. 例 4.3.5. 摩天大厦层的截面. 设 Sp 是第二例中定义的摩天大厦层, f : M Ñ Sp 为层的截面. 显然, 当 m ‰ p 时, fpmq “ m; 当 m “ p 时, fpmq “ fppq P G, fppq 可以是 G 中任意元素. 因此 ΓpSpq 和交换群 G 也是自然同构的. 类似地, 对于因子 D, 有 ΓpSDq – b i niG