第四章曲面与上同调126覆盖不必相同.但是，通过对开覆盖取公共的加细，我们可以假设L1和L2同时以(U。)为局部平凡化开覆盖.设。和。分别为L1，L2在(U。的平凡化.则F在P和下有局部表示Fa=aFl:Ua×C→Ua×C:Fa(p,a) = (p,fa(p)-a), VpeUa, ae C其中，f:U→C*为全纯映射，当UnUs≠の时，有93a=fahgafa(4.4)其中，9βa，hga分别为L1，L2的连接函数。反之，如果存在满足条件（4.4)的一族函数（fa),则L和L2同构.特别地，有推论4.1.1.黎曼曲面L上的全纯线丛L同构于平凡线丛当且仅当存在局部平凡化开覆盖Uα以及全纯函数fa：Ua→C*，使得L的连接函数gBa=f"fα黎曼曲面M上全纯线丛在同构下的等价类的全体记为C(M).全纯线丛L的同构类记为[L].在C(M)中可以引入群的运算.事实上，设全纯线丛L由连接函数9B决定，则hBα=（9Bα）-1仍然满足连接函数的条件（4.1)，因此也决定了一个全纯线丛，记为－L或L*，称为L的对偶丛对偶丛可以看成是把L的每一根纤维换成它的对偶空间得到。例如，黎曼曲面的全纯余切丛就是全纯切丛的对偶丛。如果L1，L2为两个全纯线丛，在某个公共的局部平凡化开覆盖上，它们分别有连接函数gBα和gBa，则gBa=gba9g满足连接函数的条件（4.1)，因此决定了一个全纯线丛，记为L1+L2或LL2，称为L和Lz的张量积.显然，L+L与L2+L同构容易验证，对偶运算和张量积运算在C(M）上也是定义好的，并且在这些运算下，C（M）成为一个交换群，称为M上的线丛类群.以后我们将不区分同构的全纯线丛.习题4.11.利用局部平凡化在全纯线从的纤维中定义复线性结构，并验证你的定义不依赖于局部平凡化的选取，2.验证我们用连接函数构造的L是全纯线丛，并且该线丛的连接函数就是给定的那一族函数3.写出黎曼球面S的全纯切丛和全纯余切丛的局部平凡化和连接函数，并研究它们和本节第三例中线丛的关系4.证明，全纯线丛的零截面的确是全纯的
126 第四章 曲面与上同调 覆盖不必相同. 但是, 通过对开覆盖取公共的加细, 我们可以假设 L1 和 L2 同时以 tUαu 为局部平凡化开覆盖. 设 φα 和 ψα 分别为 L1, L2 在 tUαu 的平凡化. 则 F 在 φα 和 ψα 下有局部表示 Fα “ ψα ˝ F ˝ φ ´1 α : Uα ˆ C Ñ Uα ˆ C: Fαpp, aq “ pp, fαppq ¨ aq, @ p P Uα, a P C. 其中, fα : Uα Ñ C ˚ 为全纯映射, 当 Uα X Uβ ‰ H 时, 有 gβα “ f ´1 β hβαfα. (4.4) 其中, gβα, hβα 分别为 L1, L2 的连接函数. 反之, 如果存在满足条件 (4.4) 的一族 函数 tfαu, 则 L1 和 L2 同构. 特别地, 有 推论 4.1.1. 黎曼曲面 L 上的全纯线丛 L 同构于平凡线丛当且仅当存在局部 平凡化开覆盖 Uα 以及全纯函数 fα : Uα Ñ C ˚, 使得 L 的连接函数 gβα “ f ´1 β fα. 黎曼曲面 M 上全纯线丛在同构下的等价类的全体记为 LpMq. 全纯线丛 L 的 同构类记为 rLs. 在 LpMq 中可以引入群的运算. 事实上, 设全纯线丛 L 由连接函数 gβα 决定, 则 hβα “ pgβαq ´1 仍然满足连接函数的条件 (4.1), 因此也决定了一个全 纯线丛, 记为 ´L 或 L ˚, 称为 L 的对偶丛. 对偶丛可以看成是把 L 的每一根纤维 换成它的对偶空间得到. 例如, 黎曼曲面的全纯余切丛就是全纯切丛的对偶丛. 如 果 L1, L2 为两个全纯线丛, 在某个公共的局部平凡化开覆盖上, 它们分别有连接函 数 g 1 βα 和 g 2 βα, 则 gβα “ g 1 βαg 2 βα 满足连接函数的条件 (4.1), 因此决定了一个全纯 线丛, 记为 L1 ` L2 或 L1 b L2, 称为 L1 和 L2 的张量积. 显然, L1 ` L2 与 L2 ` L1 同构. 容易验证, 对偶运算和张量积运算在 LpMq 上也是定义好的, 并且在这些运 算下, LpMq 成为一个交换群, 称为 M 上的线丛类群. 以后我们将不区分同构的全 纯线丛. 习题 4.1 1. 利用局部平凡化在全纯线丛的纤维中定义复线性结构, 并验证你的定义不依赖 于局部平凡化的选取. 2. 验证我们用连接函数构造的 L 是全纯线丛, 并且该线丛的连接函数就是给定 的那一族函数. 3. 写出黎曼球面 S 的全纯切丛和全纯余切丛的局部平凡化和连接函数, 并研究 它们和本节第三例中线丛的关系. 4. 证明, 全纯线丛的零截面的确是全纯的
84.2因子与线丛1275.证明，全纯线丛同构于平凡丛当且仅当它存在处处非零的全纯截面6.证明，如果于为常值映射，则拉回丛*L为平凡丛；如果L为平凡丛，则拉回从f*L为平凡丛7证明，同构的全纯线丛在拉回映射下仍为同构的全纯线丛84.2因子与线丛在前一节中，通过亚纯函数和拉回，我们可以得到黎曼曲面上的许多全纯线丛在本节，我们要给出全纯线丛的另外一个很自然的构造方法设D=Zni·Pi为M上的一个因子.取M的一个局部坐标邻域覆盖(Ua),因子D属于坐标邻域U&的部分记为DnU.在U。内存在亚纯函数fa，使得它在Ua内诱导的因子（fa）=DnUα,如果UanUp≠の,则在U&nUp上fo/fa既无极点，又无零点，因此是非零全纯函数，记为fBα显然，{fa）满足连接函数要求的条件(4.1),因此决定了M上的全纯线丛，记为入(D).我们有·入(D)的定义是合理的．事实上，如果在Uα中另取亚纯函数9a，使得（ga）=DnUa，则ha=fa/gα在U。中没有极点及零点，因而为非零全纯函数.记93=gp/9a，则gpa=hgfgaha，因此连接函数g3a）决定的全纯线丛和(fa）决定的全纯线丛同构；如果我们选取的局部坐标覆盖不同，则通过适当的加细就得到公共的局部坐标覆盖，这一过程同样不影响入(D）的同构类·入(D)同构于平凡丛当且仅当D为主要因子.事实上，如果D=（f）为主要因子，则可以选取fa=flua，此时fBα=1,因此入(D)为平凡丛；反之，如果入（D）同构于平凡丛，则由上一节最后的推论，存在平凡化开覆盖，通过适当加细不妨设为坐标覆盖Ua，以及全纯函数族α：Ua→C*，使得在UanUg上fa=a.因此，在UanU上，fo=faa，即(faa定义了M上一个整体亚纯函数，且在每个Ua上，（fapa）=（fa）+（a）=（fa）=DnUa，从而有（f)=D,即 D为主要因子.·入(-D)=->(D),入(D1)+>(D2)=入(D1+D2).这由定义可立即得到这说明，入诱导了因子类群D到线丛类群C的同态，仍记为入：D→L，并且这是单同态例4.2.1.考虑黎曼球面S上的因子D=0,其中0eCCS为复平面的原点.取S的坐标覆盖为Uo=C和Ui=S-{0),分别在Uo和Ui上取全纯函数fo=z,f1=1.则入(0)由连接函数(f10=1/z,fo1=z)给出
§4.2 因子与线丛 127 5. 证明, 全纯线丛同构于平凡丛当且仅当它存在处处非零的全纯截面. 6. 证明, 如果 f 为常值映射, 则拉回丛 f ˚L 为平凡丛; 如果 L 为平凡丛, 则拉回 从 f ˚L 为平凡丛. 7. 证明, 同构的全纯线丛在拉回映射下仍为同构的全纯线丛. §4.2 因子与线丛 在前一节中, 通过亚纯函数和拉回, 我们可以得到黎曼曲面上的许多全纯线丛. 在本节, 我们要给出全纯线丛的另外一个很自然的构造方法. 设 D “ ř i ni ¨ pi 为 M 上的一个因子. 取 M 的一个局部坐标邻域覆盖 tUαu, 因子 D 属于坐标邻域 Uα 的部分记为 D X Uα. 在 Uα 内存在亚纯函数 fα, 使得它 在 Uα 内诱导的因子 pfαq “ D X Uα. 如果 Uα X Uβ ‰ H, 则在 Uα X Uβ 上 fβ{fα 既 无极点, 又无零点, 因此是非零全纯函数, 记为 fβα. 显然, tfβαu 满足连接函数要求 的条件 (4.1), 因此决定了 M 上的全纯线丛, 记为 λpDq. 我们有 • λpDq 的定义是合理的. 事实上, 如果在 Uα 中另取亚纯函数 gα, 使得 pgαq “ D X Uα, 则 hα “ fα{gα 在 Uα 中没有极点及零点, 因而为非零全纯函数. 记 gβα “ gβ{gα, 则 gβα “ h ´1 β fβαhα, 因此连接函数 tgβαu 决定的全纯线丛和 tfβαu 决定的全纯线丛同构; 如果我们选取的局部坐标覆盖不同, 则通过适当 的加细就得到公共的局部坐标覆盖, 这一过程同样不影响 λpDq 的同构类. • λpDq 同构于平凡丛当且仅当 D 为主要因子. 事实上, 如果 D “ pfq 为主要 因子, 则可以选取 fα “ f|Uα , 此时 fβα ” 1, 因此 λpDq 为平凡丛; 反之, 如果 λpDq 同构于平凡丛, 则由上一节最后的推论, 存在平凡化开覆盖, 通过适当加 细不妨设为坐标覆盖 Uα, 以及全纯函数族 ϕα : Uα Ñ C ˚, 使得在 Uα X Uβ 上 fβα “ ϕ ´1 β ϕα. 因此, 在 Uα X Uβ 上, fβϕβ “ fαϕα, 即 tfαϕαu 定义了 M 上一 个整体亚纯函数, 且在每个 Uα 上, pfαϕαq “ pfαq ` pϕαq “ pfαq “ D X Uα, 从 而有 pfq “ D, 即 D 为主要因子. • λp´Dq “ ´λpDq, λpD1q ` λpD2q “ λpD1 ` D2q. 这由定义可立即得到. 这说明, λ 诱导了因子类群 D 到线丛类群 L 的同态, 仍记为 λ : D Ñ L, 并且 这是单同态. 例 4.2.1. 考虑黎曼球面 S 上的因子 D “ 0, 其中 0 P C Ă S 为复平面的原 点. 取 S 的坐标覆盖为 U0 “ C 和 U1 “ S ´ t0u, 分别在 U0 和 U1 上取全纯函数 f0 “ z, f1 “ 1. 则 λp0q 由连接函数 tf10 “ 1{z, f01 “ zu 给出
128第四章曲面与上同调下面的引理给出了复向量空间I（D）的一个新的解释引理4.2.1.对任何因子D均有线性同构1(D)~Tr((D))证明.任取入(D)的一个全纯截面s,s有局部表示(s&：Ua→C),在UanU上，S满足关系fe.sp= fra5a= fesa因此，sa/f在M上决定了一个整体的亚纯函数，记为（s).在每个U。上，有[(i(s)) + D]nUa= (sα)-(fa) + DnUα= (sa) ≥0.这说明(s)e1(D).因此我们就定义了线性映射i:Tr(Λ(D))→1(D).反之，给定亚纯函数fEl(D)，令sα=f·fα，由于(sα)=(f)nUα+(fa)=(f)nU&+DnUα=[(f)+D]nUa≥0.Sα为Uα上的全纯函数，并且满足条件（4.3).因此(sa）决定了全纯线丛入(D)的一个全纯截面，记为(s)，我们就得到了线性映射j：1(D）→h(A(D)).显然，i,jV为互逆线性映射，因而均为线性同构.类似地，我们也可以给出（D）的另一个解释，在此之前，我们定义由亚纯截面诱导的因子.为此，设s为全纯线丛L的亚纯截面，并设其局部表示为（sa).在U。上，Sα诱导了因子（sα）.在UnUβ上，连接函数9Bα是处处非零的全纯函数，因此有(sp)= (8a) =(gBa)+(sa)=(sα).这说明在M上存在因子D,使得DnU&=(sa).D称为由亚纯截面s诱导的因子，记为（s).显然，s为全纯截面当且仅当（s)≥0.我们注意到，黎曼曲面上的亚纯微分可以看成全纯余切丛的亚纯截面，而亚纯微分诱导的因子和我们现在定义的作为亚纯截面诱导的因子是一致的，引理4.2.2.如果L为全纯线丛，则有线性同构Th(L-(D)) = (SEM(L)I(S) -D≥0)特别地，(D)=T(TM-入(D))口证明.这个引理的证明和上一引理的证明完全类似，留作习题下面的引理揭示了亚纯截面和全纯线丛的关系，引理4.2.3.设8为全纯线丛L的非零亚纯截面，则L=入((s))；反之，任给因子D,存在全纯线丛>(D)的亚纯截面s,使得D=(s)
128 第四章 曲面与上同调 下面的引理给出了复向量空间 lpDq 的一个新的解释. 引理 4.2.1. 对任何因子 D 均有线性同构 lpDq – ΓhpλpDqq. 证明. 任取 λpDq 的一个全纯截面 s, s 有局部表示 tsα : Uα Ñ Cu, 在 Uα X Uβ 上, sα 满足关系 sβ “ fβαsα “ fβ fα sα. 因此, sα{fα 在 M 上决定了一个整体的亚纯函数, 记为 ipsq. 在每个 Uα 上, 有 rpipsqq ` Ds X Uα “ psαq ´ pfαq ` D X Uα “ psαq ě 0. 这说明 ipsq P lpDq. 因此我们就定义了线性映射 i : ΓhpλpDqq Ñ lpDq. 反之, 给定亚纯函数 f P lpDq, 令 sα “ f ¨ fα, 由于 psαq “ pfq X Uα ` pfαq “ pfq X Uα ` D X Uα “ rpfq ` Ds X Uα ě 0. sα 为 Uα 上的全纯函数, 并且满足条件 (4.3). 因此 tsαu 决定了全纯线丛 λpDq 的 一个全纯截面, 记为 jpsq. 我们就得到了线性映射 j : lpDq Ñ ΓhpλpDqq. 显然, i, j 为互逆线性映射, 因而均为线性同构. 类似地, 我们也可以给出 ipDq 的另一个解释. 在此之前, 我们定义由亚纯截面 诱导的因子. 为此, 设 s 为全纯线丛 L 的亚纯截面, 并设其局部表示为 tsαu. 在 Uα 上, sα 诱导了因子 psαq. 在 Uα X Uβ 上, 连接函数 gβα 是处处非零的全纯函数, 因 此有 psβq “ pgβαsαq “ pgβαq ` psαq “ psαq. 这说明在 M 上存在因子 D, 使得 D X Uα “ psαq. D 称为由亚纯截面 s 诱导的因 子, 记为 psq. 显然, s 为全纯截面当且仅当 psq ě 0. 我们注意到, 黎曼曲面上的亚 纯微分可以看成全纯余切丛的亚纯截面, 而亚纯微分诱导的因子和我们现在定义的 作为亚纯截面诱导的因子是一致的. 引理 4.2.2. 如果 L 为全纯线丛, 则有线性同构 ΓhpL ´ λpDqq – tS P MpLq | pSq ´ D ě 0u, 特别地, ipDq – ΓhpT ˚ h M ´ λpDqq. 证明. 这个引理的证明和上一引理的证明完全类似, 留作习题. 下面的引理揭示了亚纯截面和全纯线丛的关系. 引理 4.2.3. 设 s 为全纯线丛 L 的非零亚纯截面, 则 L “ λppsqq; 反之, 任给 因子 D, 存在全纯线丛 λpDq 的亚纯截面 s, 使得 D “ psq.
84.2因子与线丛129证明.设s为全纯线丛L的非零亚纯截面，其局部表示为（s。：根据（s）的定义，入(s)是由连接函数(sβa=%）决定的全纯线丛，另一方面，(sa）满足条件(4.3),这说明sB=9Ba就是L的连接函数，因此L=入(s).反之，任给因子D,按照入(D)的构造，入(D)由连接函数(fBa=)决定，其中fα为U。上的亚纯函数，且（fa）=DnU.现在，亚纯函数族(fa）满足条件(4.3)，因而决定了全纯线丛入(D）的一个亚纯截面，记为s.由（s）的定义，显然有口(s) = D.例4.2.2.设M为黎曼曲面，w为M上非零亚纯微分，其诱导的因子为K=(w)上面的引理说明M的全纯余切丛T*M同构于入(K).因此有i(D)Fh(A(K - D))推论4.2.4.设L为全纯线丛，则(i) 如果 dimTr(L)>0,则存在有效因子 D,使得 L=A(D);(i)如果存在因子Di,使得dimTr(L-入(Di))0,则存在因子D,使得L = 入(D)证明.(i)如果dimIr(L)>0,则存在L的非零全纯截面s,由刚才的引理4.2.3立知 L=入((s)(i)如果存在因子Di,使得 dimTr(L-入(Di))>0,则由(i),存在因子D2,使口得 L - 入(Di) = >(D2), 此时 L = >(Di + D2),推论4.2.5.设L为紧致黎曼曲面M上的全纯线丛，则dim Fr(L) < 00.证明.如果dimT（L）=0,则没有什么好证的：如果dimIh(L)>0，则由刚才的推论，存在因子D，使得L=入(D).此时由引理4.2.1得dimFh(L) = dimT((D)) = diml(D) < 00.口其中，由第三章引理3.1.1知1(D）为有限维向量空间以后我们将证明，如果M为紧致黎曼曲面，则入是满同态，即对任何全纯线丛L,都存在因子D,使得 L=入(D)习题4.21.证明，将CP1等同于黎曼球面S后，前节第三例中的全纯线丛E同构于入(-0)2.证明，S的全纯切丛Th(S)同构于入(-2.0)，全纯余切丛T(S)同构于入(2.0)
§4.2 因子与线丛 129 证明. 设 s 为全纯线丛 L 的非零亚纯截面, 其局部表示为 tsαu. 根据 psq 的 定义, λppsqq 是由连接函数 tsβα “ sβ sα u 决定的全纯线丛. 另一方面, tsαu 满足条件 (4.3), 这说明 sβα “ gβα 就是 L 的连接函数, 因此 L “ λppsqq. 反之, 任给因子 D, 按照 λpDq 的构造, λpDq 由连接函数 tfβα “ fβ fα u 决定, 其 中 fα 为 Uα 上的亚纯函数, 且 pfαq “ D X Uα. 现在, 亚纯函数族 tfαu 满足条件 (4.3), 因而决定了全纯线丛 λpDq 的一个亚纯截面, 记为 s. 由 psq 的定义, 显然有 psq “ D. 例 4.2.2. 设 M 为黎曼曲面, ω 为 M 上非零亚纯微分, 其诱导的因子为 K “ pωq. 上面的引理说明 M 的全纯余切丛 T ˚ h M 同构于 λpKq. 因此有 ipDq – ΓhpλpK ´ Dqq. 推论 4.2.4. 设 L 为全纯线丛. 则 piq 如果 dim ΓhpLq ą 0, 则存在有效因子 D, 使得 L “ λpDq; piiq 如果存在因子 D1, 使得 dim ΓhpL ´ λpD1qq ą 0, 则存在因子 D, 使得 L “ λpDq. 证明. piq 如果 dim ΓhpLq ą 0, 则存在 L 的非零全纯截面 s, 由刚才的引理 4.2.3 立知 L “ λppsqq. piiq 如果存在因子 D1, 使得 dim ΓhpL ´ λpD1qq ą 0, 则由 piq, 存在因子 D2, 使 得 L ´ λpD1q “ λpD2q, 此时 L “ λpD1 ` D2q. 推论 4.2.5. 设 L 为紧致黎曼曲面 M 上的全纯线丛. 则 dim ΓhpLq ă 8. 证明. 如果 dim ΓhpLq “ 0, 则没有什么好证的; 如果 dim ΓhpLq ą 0, 则由刚才 的推论, 存在因子 D, 使得 L “ λpDq. 此时由引理 4.2.1 得 dim ΓhpLq “ dim ΓpλpDqq “ dim lpDq ă 8. 其中, 由第三章引理 3.1.1 知 lpDq 为有限维向量空间. 以后我们将证明, 如果 M 为紧致黎曼曲面, 则 λ 是满同态, 即对任何全纯线丛 L, 都存在因子 D, 使得 L “ λpDq. 习题 4.2 1. 证明, 将 CP 1 等同于黎曼球面 S 后, 前节第三例中的全纯线丛 E 同构于 λp´0q. 2. 证明, S 的全纯切丛 ThpSq 同构于 λp´2 ¨ 0q, 全纯余切丛 T ˚ h pSq 同构于 λp2 ¨ 0q.
第四章曲面与上同调1303.设f：M→N为黎曼曲面之间的全纯映射，D=Eni·Pi为N上的因子定义*D=Zni·f*(pi),其中f*(pi)=≥9i是带有重数之和.证明qef-1(pa)f*(A(D) = 入(f*D)4.设81，82为全纯线丛的两个非零亚纯截面，则可以自然地定义除法，使得s1/s2为亚纯函数.5.详细证明引理4.2.26.回答问题：9次全纯微分是什么线丛的截面？84.3层和预层在第二章第二节引入切向量时，我们考虑过在某一点附近光滑的函数全体，在本节，我们把这样的对象整体化，其结果就是层的概念.我们首先回顾一下先前的构造.设M为黎曼曲面，U为M上的开集.记A(U）为U内有定义的光滑函数的全体.沿用先前的记号，对pEM，有C(p) = I I A°(U)/ ~ .Ua其中，等价关系～定义如下：f e A(U)~ geA(V)3W Un V, 使得peW, flw = glw.把在C(p）中的等价类记为[]p：C(p）中可以自然定义加法和数乘运算使之称为线性空间。定义S°=C)）．我们在S°上如下定义拓扑：任取M的开集U以及U上光滑函数f,令OF=(Lf]plpEU),则OF为So中子集，而(OfIfEA(U)，UM)形成一个拓扑基，因此定义了SO上的一个拓扑.令π：so→M,(Lflp)=p.我们有·元为连续满射，且为局部同胚事实上，任给pEM以及包含p的开集U，取光滑函数A%(U).则Of为S0的开集，且元(O)=U,元限制在OF上是到U的同胚·π-1(p)=C(p)为交换群。这是显然的·考虑映射so→S°[f]p→[-f]p这是定义好的连续映射.事实上，从上面s0的拓扑的定义可以看出这个映射是一个自同胚映射
130 第四章 曲面与上同调 3. 设 f : M Ñ N 为黎曼曲面之间的全纯映射, D “ ř i ni ¨ pi 为 N 上的因子. 定义 f ˚D “ ř i ni ¨ f ˚ppiq, 其中 f ˚ppiq “ ř qjPf´1ppiq qj 是带有重数之和. 证明 f ˚pλpDqq “ λpf ˚Dq. 4. 设 s1, s2 为全纯线丛的两个非零亚纯截面, 则可以自然地定义除法, 使得 s1{s2 为亚纯函数. 5. 详细证明引理 4.2.2. 6. 回答问题: q 次全纯微分是什么线丛的截面? §4.3 层和预层 在第二章第二节引入切向量时, 我们考虑过在某一点附近光滑的函数全体. 在 本节, 我们把这样的对象整体化, 其结果就是层的概念. 我们首先回顾一下先前的 构造. 设 M 为黎曼曲面, U 为 M 上的开集. 记 A0 pUq 为 U 内有定义的光滑函数 的全体. 沿用先前的记号, 对 p P M, 有 C 8ppq “ ž UQp A 0 pUq{ ∼ . 其中, 等价关系 ∼ 定义如下: f P A 0 pUq ∼ g P A 0 pV q ðñ D W Ă U X V, 使得 p P W, f|W “ g|W . 把 f 在 C 8ppq 中的等价类记为 rfsp. C 8ppq 中可以自然定义加法和数乘运算使 之称为线性空间. 定义 S 0 “ Y pPM C 8ppq. 我们在 S 0 上如下定义拓扑: 任取 M 的开集 U 以及 U 上光滑函数 f, 令 Of “ trfsp | p P Uu, 则 Of 为 S 0 中子集, 而 tOf | f P A0 pUq, U Ă Mu 形成一个拓扑基, 因此定义了 S 0 上的一个拓扑. 令 π : S 0 Ñ M, πprfspq “ p. 我们有 • π 为连续满射, 且为局部同胚. 事实上, 任给 p P M 以及包含 p 的开集 U, 取 光滑函数 f P A0 pUq. 则 Of 为 S 0 的开集, 且 πpOf q “ U, π 限制在 Of 上是 到 U 的同胚. • π ´1 ppq “ C 8ppq 为交换群. 这是显然的. • 考虑映射 S 0 Ñ S 0 , rfsp ÞÑ r´fsp. 这是定义好的连续映射. 事实上, 从上面 S 0 的拓扑的定义可以看出这个映射是一个自同胚映射