当A9→B或A→B时， 在B中总能找到与D,相对应的子式D, 由于D,=D或D,=-D,或D,=kD, 因此D,≠0，从而R(B)≥r 当A+→B时，分三种情况讨论 (1)D中不含第行： (2)D中同时含第行和第行； (3)D,中含第行但不含第行； 区回
当A B或A r k B时， r r i ⎯i ⎯j→ ⎯⎯ → 当A i j B时，分三种情况讨论： r kr ⎯ ⎯→ + r ,. 在 B 中总能找到与 Dr 相对应的子式 D , r r r r r 由于 Dr = D 或 D = −D 或 D = kD D 0 R(B) r. r 因此 ，从而 （ ） 中含第 行但不含第 行； （ ） 中同时含第 行和第 行； （ ） 中不含第 行； D i j D i j D i r r r 3 2 1
对(1)，(2)两种情形，显然B中与D,对应的 子式D,=D.≠0，故R(B)≥r. 对情形(3)， : D,=ni+kr;=ni+kr=D,+kD, 若D,≠0， 因D,中不含第i行知A中有不含第i行的r阶 非零子式，.R(B)≥r
0, ( ) . (1),(2) D D R B r B D r r r 子式 = 故 对 两种情形，显然 中与 对应的 对情形 (3)， , ˆ i j i j r r Dr = r + kr = r + k r = D + kD 0, 若D ˆ r , ˆ 非零子式 因 Dr 中不含第 i 行知 A中有不含第 i 行的 r 阶 R(B) r