相似年阵及二次型 第四节 对称矩阵的相似矩阵 、 对称矩阵的性质 利用正交矩阵将对称矩阵 对角化的方法 三、小结思考题 带助
对称矩阵的性质 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵 定理1对称矩阵的特征值为实数 证明设复数为对称矩阵A的特征值，复向量x为 对应的特征向量， 即 A=2,x≠0. 用几表示2的共轭复数，x表示x的共轭复向量， 则 Ax=Ax=(Ax)=(Ax)=x
定理1 对称矩阵的特征值为实数. 证明 , , 对应的特征向量 设复数为对称矩阵A的特征值 复向量x为 即 Ax = x , x 0. 用 表示的 共轭复数 , 则 Ax = Ax = (Ax) = (x) = x. 一、对称矩阵的性质 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． x表示x的共轭复向量
主主王王 于是有 xTAx=x"(Ax)=xTAx=Ax"x, xAx=k=(Ax)x=(ax)xx. 两式相减，得 (2-a)x'x=0. 但因为x≠0， 所以x=x=2x2≠0，→h-)=0, 即入=元，由此可得2是实数
于是有 x Ax T x Ax T 及 x (Ax) T = x x T = x x, T = (x A )x T T = (Ax) x T = ( x) x T = x x. T = 两式相减，得 ( − )x x = 0. T 但因为x 0, ( − ) = 0, 即 = , 由此可得是实数. 0, 1 2 1 = = = = n i i n i i i T 所以 x x x x x
定理1的意义 由于对称矩阵A的特征值2：为实数，所以齐次 线性方程组 (A-2:E)x=0 是实系数方程组，由A一入：E=0知必有实的基础解 系，从而对应的特征向量可以取实向量。 上页
定理1的意义 , . , 0 ( ) 0 , 系 从而对应的特征向量可以取实向量 是实系数方程组 由 知必有实的基础解 线性方程组 由于对称矩阵 的特征值 为实数 所以齐次 − = − = A E A E x A i i i
定理2设2,22是对称矩阵A的两个特征值，P1, P2是对应的特征向量若2≠2，则p与p2正交. 证明入P1=Ap1,2P2=Ap2,入≠2， ·A对称，A=AI, ()=()=DA=D A, 于是pp2=p,Ap2=p(P)=pp2, → (-2)pp2=0. ≠22，p1p2=0.即p1与p2正交， 回
, , . 2 , , , 2 1 2 1 2 1 2 1 是对应的特征向量若 则 与 正 交 定 理 设 是对称矩阵 的两个特征值 p p p A p 证明 , , , 1 p1 = Ap1 2 p2 = Ap2 1 2 A , A A , T 对称 = ( ) ( ) T T T 1 p1 = 1 p1 = Ap1 , p1 A p1 A T T T = = 于是 ( ) 1 1 2 1 2 1 2 p2 p p p Ap p T T T = = , 2 1 p2 p T = ( ) 0. 1 − 2 p1 p2 = T , 1 2 . p1 p2 = 0. 即p1与p2正交 T