《线性代数》课程PPT教学课件（同济第五版）第3章 矩阵的初等变换与线性方程组 3.3 矩阵的秩

柜阵的动等变换与孩性方程组 第二节 矩阵的秩 一、矩阵秩的概念 矩阵秩的求法 三、小结思考题 带助 四

一、矩阵秩的概念 任何矩阵Amxn,总可经过有限次初等行变换 把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的.矩阵的秩 定义1在m×n矩阵A中任取k行k列(k≤m, k≤n),位于这些行列交叉处的个k2元素，不改 变它们在A中所处的位置次序而得的阶行列式， 称为矩阵A的k阶子式

. , 数是唯一确定的 把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行 任何矩阵 Amn 总可经过有限次初等行变换 . , 1 , 2 称为矩阵 的 阶子式 变它们在 中所处的位置次序而得的 阶行列式， ），位于这些行列交叉处的个 元 素 不 改 定 义 在 矩 阵 中任取 行 列 （ A k A k k n k m n A k k k m    一、矩阵秩的概念 矩阵的秩

Aijz Ariz (2.13) 若(2.13)等于零，称其为k阶零子式： 若(2.13)不等于零，称其为k阶非零子式； 若(2.13)中，i1j,i2=j2,ikj 称其为k阶主子式

1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 . . (2.13) . . . . . (2.13) (2.13) (2.13) , ,., , k k k k k k i j i j i j i j i j i j i j i j i j k k a a a a a a a a a 若 等于零，称其为k阶零子式； 若 不等于零，称其为k阶非零子式； 若 中，i =j i =j i =j 称其为k阶主子式

m×n矩阵A的k阶子式共有Ck●C个. 定义2 设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子 式D,且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等 于O,那末D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r 称为矩阵A的秩，记作R(A).并规定零矩阵的秩 等于零 上页

. ( ). 0 1 2 0 等于零 称为矩阵 的秩，记作 并规定零矩阵的秩 于 ，那末 称为矩阵 的最高阶非零子式，数 式 ，且所有 阶子式（如果存在的话）全等 定义 设在矩阵 中有一个不等于 的 阶子 A R A D A r D r A r + 矩阵 的 阶子式共有 个. k n k mn A k Cm •C

注： (1)m×n矩阵A的秩R(A)是A中不等于零的 子式的最高阶数 (2)0≤R(A)≤min{m,n} (3)对于A,有R(A)=R(A) (4)n阶矩阵A,若A≠0，则R(A)=n,(满秩) 若A=O,则R(A)<n.(降秩) 上页 这回

. 1 ( ) 子式的最高阶数 注： （）mn 矩阵 A的秩 R A 是 A中不等于零的 R(A ) R(A). T 有 = （2 0 ( ) min{ , }. ）   R A m n （3）对于 A T ， 4 A A 0 ( ) ;( ) A =0 ( ) . R A n R A n  =  （ ） n阶矩阵 ，若 ，则 满秩 若 ，则 （降秩）