《线性代数》课程PPT教学课件（同济第五版）第3章 矩阵的初等变换与线性方程组 3.4 线性方程组的解

柜阵的和等变换与线性方程组 第三节 线性方程组的解 线性方程组有解的判定条件 线性方程组的解法 三、小结思考题 带助式

一、线性方程组有解的判定条件 1、非齐次线性方程组 011x1+012X2++01mxn=b1 21x1+22+.+02mXn=b2 （1) amix+am2x2++amnxn=bm 11 L12 若记A= 21 2 3X= ,b= mn 则上述方程组(1)可写成向量方程

１、非齐次线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =    + + + =  若记 （1） 11 12 1 21 22 2 1 2 , n n m m mn a a a a a a A a a a     =         1 2 , n x x x x     =         则上述方程组（1）可写成向量方程 Ax b = . 1 2 m b b b b     =         一、线性方程组有解的判定条件

问题：如何利用系数矩阵A和增广矩阵B的秩， 讨论线性方程组Ax=b的解. 定理1：非齐次线性方程组Ax=b R(4)=R(B)=n÷Ax=b有唯一解 R(A)=R(B)<n一Ax=b有无穷多解. R(A<R(B)台Ax=b无解 回

讨论线性方程组 的解． 如何利用系数矩阵 和增广矩阵 的秩， Ax b A B = 问题： Ax = b R(A)= R(B)< n Ax = b有无穷多解. 定理1: 非齐次线性方程组 R(A)= R(B)= n   Ax = b有唯一解; R A R B Ax b ( ) ( ) <  = 无解

小结R(A)=R(B)=n台Ax=b有唯一解 R(A)=R(B)<n台Ax=b有无穷多解. 定义：含有个参数的方程组的任一解，称为线性 方程组的通解。 齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵， 便可写出其通解； 非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解.若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；

小结 R(A)= R(B)= n  Ax = b有唯一解 R(A)= R(B)< n  Ax = b有无穷多解. 方程组的通解． 定义：含有个参数的方程组的任一解，称为线性 齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵， 便可写出其通解； 非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；

二、线性方程组的解法 例1求解齐次线性方程组 x1+2x2+x3+x4=0 2x1+x2-2x3-2x4=0. x1-x2-4x3-3x4=0 解 对系数矩阵A施行初等行变换： /122 22 4= 2 1 -2 -2 22 0 -3-6 -4 1-1-4-3 3- 0 -3-6 回

例1 求解齐次线性方程组 . 4 3 0 2 2 2 0 2 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4      − − − = + − − = + + + = x x x x x x x x x x x x 解           − − − = − − 1 1 4 3 2 1 2 2 1 2 2 1 A           − − − − − − 0 3 6 4 0 3 6 4 1 2 2 1 二、线性方程组的解法 对系数矩阵 A施行初等行变换： 3 1 2 2 1 r r r r − −