相似矩连及二次型 第三节 相似矩阵 一、相以矩阵与相以变换的概念 相似矩阵与相似变换的性质 三、 利用相似变换将方阵对角化 四、小结思考题 助
相似矩阵与相似变换的概念 定义1设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P,使 PAP=B, 则称B是A的相似矩阵或说矩阵A与B相似对A进 行运算P-AP称为对A进行相似变换可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵
一、相似矩阵与相似变换的概念 . , , . , 1 , , , 1 1 称为把 变 成 的相似变换矩阵 行运算 称为对 进行相似变换可逆矩阵 则 称 是 的相似矩阵 或说矩阵 与 相 似 对 进 定 义 设 都 是 阶矩阵 若有可逆矩阵 使 A B P AP A P B A A B A P AP B A B n P − − =
二、相似矩阵与相似变换的性质 1.等价关系 (I)反身性A与A本身相似 (2)对称性若A与B相似，则B与A相似. (3)传递性 若A与B相似，B与C相似， 则A与C相似. 2.p1(A,42)P=-(PA,PP-A,P) 3.若A与B相似，则Am与Bm相似(m为正整数)
1. 等价关系 2. ( ) ( )( ). 2 1 1 1 1 2 1 P A A P P A P P A P − − − = 3.若A与B相似,则A 与B 相似(m为正整数). m m 二、相似矩阵与相似变换的性质 A与A本身相似. 若A与B相似,则B与A相似. . , , 则 与 相似 若 与 相似 与 相似 A C A B B C (1)反身性 (2)对称性 (3)传递性
4.P-k 4 +k24)P=k P-A P+k2P-A2 P 其中k1,k2是任意常数. 定理1若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项 式相同，从而A与B的特征值亦相同 证明A与B相似 →可逆阵P,使得P-AP=B ∴B-E=P-AP-P(2E)P =P-(A-E)P P-A-AE P =A-2E. 上页 湖回
证明 A与B相似 B E P AP P (E)P −1 −1 − = − = P (A − E)P −1 = P A− E P −1 = A − E . P (k A k A )P k P A P k P A2P 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 4. − − − + = + , . 其中k1 k2是任意常数 P P AP = B −1 可逆阵 ,使得 , . 1 , 式相同 从 而 与 的特征值亦相同 定 理 若 阶矩阵 与 相 似 则 与 的特征多项 A B n A B A B
推论 若n阶方阵A与对角阵 相似，则2,22，2n即是A的n个特征值 上页 返回
推论 若 n 阶方阵A与对角阵 = n 2 1 , , , , . 相似 则1 2 n即是A的n个特征值