《线性代数》课程PPT教学课件（同济第五版）第3章 矩阵的初等变换与线性方程组 3.3 矩阵的秩

1 2 3 例1 求矩阵A= 2 3 -5 的秩 47 1 解 又.·A的3阶子式只有一个A且A=0, ∴.R(A=2. 上页

例 1 . 4 7 1 2 3 5 1 2 3 求矩阵 的秩   A = − 解 在 A中， 又  A 的 3阶子式只有一个 A， 0. 2 3 1 2  且 A = 0 ，  R ( A ) = 2

3-2 1 例2求矩阵B= -2 004-3 的秩 0 0 00 0 0 解 B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行， B的所有4阶子式全为零. 2-13 而03 -2≠0， R(B)=3. 0 0 4 上页 区回

例 2 . 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 0 3 1 2 5 2 1 0 3 2 求矩阵 的秩   − − − − B = 解  B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，  B的所有 4阶子式全为零. 0, 0 0 4 0 3 2 2 1 3−  − 而  R(B) = 3

例3 f 求该矩阵的秩 解 02 =2≠0，计算A的3阶子式， 1 3 -21323-22 1 -2 2 0 2 -1=0023=D,-13=0g -1 3= 0 -2 0 1-2 05015 -2 1 5 =0. .R(A)=2

例3 已知 ，求该矩阵的秩．           − − − = 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 A 2 0, 0 2 1 3  =  2 0 1 0 2 1 1 3 2 − − − 2 0 5 0 2 3 1 3 2 − 解 计算A的3阶子式， = 0, = 0, 0 1 5 2 1 3 3 2 2 − − 2 1 5 0 1 3 1 2 2 − − − = = 0, = 0, = = = 0.  R(A) = 2

13 -22 另解对矩阵A 0 2 -1 3 做初等变换， -201 5 00 显然，非零行的行数为2， .R(A)=2. 此方法简单！ 上页 回

对矩阵 做初等变换，           − − − = 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 另解 A , 0 0 0 0 0 2 1 3 1 3 2 2 ~ 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2           − −           − − −  显然，非零行的行数为2，  R(A) = 2. 此方法简单！

二、矩阵秩的求法 因为对于任何矩阵Axm,总可经过有限次初 等行变换把他变为行阶梯形 问题：经过变换矩阵的秩变吗？ 定理1若A~B,则R(A)=R(B), 证先证明：若A经一次初等行变换变为B, 则R(A)≤R(B). 设R(A)=r,且A的某个r阶子式D,≠0

. , 等行变换把他变为行阶梯形 因为对于任何矩阵Amn 总可经过有限次初 问题：经过变换矩阵的秩变吗？ 定 理1 若 A ~ B,则 R(A) = R(B). 证 二、矩阵秩的求法 ( ) ( ). R A R B A B 则  先证明：若 经一次初等行变换变为 ， ( ) =  0. Dr 设 R A r，且 A的某个r 阶子式