向量组的孩恨相关性 第二节向量组的线性相关性 向量 向量组与矩阵 线性相关性的概念 三 线性相关性的判定 四、小结思考题 返
二、线性相关性的概念 定义3给定向量组4：a1,a2,am,如果存在不 全为零的数k1,k2,.,km使 kja+kzaz+.+kmam =0 则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关. 注意 1.若a1,a2,.,xn线性无关，则只有当 1=.=2n=0时，才有 21a1+2a2+.+nan-0成立. 2.对于任一向量组，不是线性无关就是 线性相关. 上页 区回
0 , , , : , , , , 1 1 2 2 1 2 1 2 + + + m m = m m k k k k k k A 全为零的数 使 给定向量组 如果存在不 注意 0 . 0 , 1. , , , , 1 1 2 2 1 1 2 成立 时 才有 若 线性无关 则只有当 + + + = = = = n n n n . 2. , 线性相关 对于任一向量组 不是线性无关就是 定义３ 二、线性相关性的概念 则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关．
3.向量组只包含一个向量a时，若a=0则说a 线性相关，若a≠0，则说α线性无关. 4.包含零向量的任何向量组是线性相关的， 5对于含有两个向量的向量组，它线性相关的 充要条件是两向量的分量对应成比例，几何意义 是两向量共线；三个向量相关的几何意义是三向 量共面
, 0, . 3. , 0 线性相关 若 则说 线性无关 向量组只包含一个向量 时 若 则说 = 4.包含零向量的任何向量组是线性相关的. . 5. , 量共面 是两向量共线；三个向量相关的几何意义是三向 充要条件是两向量的分量对应成比例，几何意义 对于含有两个向量的向量组 它线性相关的
三、线性相关性的判定 定理向量组1，Q2,a(当m≥时)线性相关 的充分必要条件是01,2，.，Qm中至少有一个向 量可由其余m-1个向量线性表示. 证明 充分性 工王王王王王 设L1,2,4m中有一个向量（比如0m) 能由其余向量线性表示.即有 am=2a1+22a2+·+九m-1am-1
定理 向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示． m , , , 1 2 m 2 m , , , 1 2 m − 1 证明 充分性 设 中有一个向量（比如 ） 能由其余向量线性表示. a a a m , , , 1 2 m a 即有 a m = 11 + 2 2 ++ m−1 m−1 三、线性相关性的判定
故 a+,a2+.+九m-1am-1+(-1)hn=0 因，2，2n1,(1)这m个数不全为0， 故 1,02,.,0线性相关 必要性设a1,a2,am线性相关， 则有不全为0的数k1,k2,km,使 ka1+k2a2+.+ka=0
故 11 + 2 2 ++ m−1 m−1 + (− 1)a m = 0 因 1 ,2 , , m−1 ,(− 1) 这 m 个数不全为0， 故 m 线性相关. , , , 1 2 必要性 设 1 , 2 , , m 线性相关， 则有不全为0的数 k1 ,k2 , ,km , 使 0. k11 + k2 2 ++ k m m =