行列式 第五节 行列式的性质 行列式的性质 应用举例 三、小结思考题 带助式
一、行列式的性质 王二二主二二主二二二二主王主 记 411 12 411 21 D a21 22 DT 412 22 An .Lm .m 行列式D'称为行列式D的转置行列式 性质1 行列式与它的转置行列式相等
一、行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 行列式 称为行列式 的转置行列式. T D D 记 nn a a a 22 11 n n a a a 2 12 1 1 2 21 n n a a a D = 2 21 1 n n a a a n n a a a 1 2 12 = T D nn a a a 22 11
证明 记D=dt(a,的转置行列式 b11 b12 DT= b21b2 bn2 即b=0(6,j=1,2,n,按定义 D'=∑(-ヅbbn.bp.=∑(-y0n14p2r 又因为行列式D可表示为 D=∑(1ヅan14p,2-0pn 回
证明 记 D = det(aij)的转置行列式, 1 2 21 22 2 11 12 1 n n nn n n T b b b b b b b b b D = ( , 1, 2, , ,) ij ji 即b a i j n = = 按定义 ( 1) ( 1) . = − 1 1 2 2 = − p11 p2 2 p n t p p np T t n n D b b b a a a 又因为行列式D可表示为 ( 1) . = − p11 p2 2 p n t n D a a a
故 D=DT. 证毕 说明行列式中行与列具有同等的地位，因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号 证明 设行列式 b b12 bin D1= bat b22 ba bn2.bm 是由行列式D=dt(a,)变换i,j两行得到的
故 . T D = D 证毕 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 证明 设行列式 , 1 2 21 22 2 11 12 1 1 n n nn n n b b b b b b b b b D = 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 是由行列式 D = det(aij) 变换 两行得到的, i, j
即当k≠i,j时，bo=p当k=i,j时， bo aj'bip ap, 于是 D,=∑(yDnb,bn-bg =∑（ヅApapaaw. =∑(1yan.0p,pam. 其中1.i.j.n为自然排列 为排列pPp.Pn的逆序数 设排列p1.ppPn的逆序数为t1, 则有 回
于是 ( ) i j npn p ip jp t D b b b b 1 1 1 = − 1 ( ) i j npn p ip jp t a a a a 1 1 = − 1 ( 1) , 1 1 j i npn p ip jp t = − a a a a 其中1i jn为自然排列, . t为排列 p1 pi pj pn 的逆序数 , 1 1 p p p p t 设排列 i j n 的逆序数为 则有 即当 时, k i, j ; bkp = akp 当 k i j 时, = , , , bip = ajp bjp = aip