向量狼的孩健相采烟 第四节 向量空间 向量空间的概念 子空间 三 向量空间的基与维数 四、小结 思考题 带助
一、向量空间的概念 定义1设V为n维向量的集合，如果集合非空， 且集合对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称 集合V为向量空间 说明 1.集合V对于加法及数乘两种运算封闭指 若a∈V,B∈V,则a+B∈V; 若a∈V,2∈R,则a∈V. 2.n维向量的集合是一个向量空间，记作R:
说明 若 V, R, 则 V. 2．n 维向量的集合是一个向量空间,记作 . n R 若 V, V, 则 + V; 一、向量空间的概念 定义1 设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称 集合 为向量空间． n V V V V 1．集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭指
例13维向量的全体R3,是一个向量空间 因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量，数 乘3维向量仍然是3维向量，它们都属于R3. 类似地，n维向量的全体R",也是一个向量空 间. 回
3 , . 例1 维向量的全体R 3 是一个向量空间 3 3 . 3 3 , 3 乘 维向量仍然是 维向量，它们都属于R 因为任意两个 维向量之和仍然是 维向量 数 . 间 类似地，n维向量的全体R n，也是一个向量空
例2判别下列集合是否为向量空间， Y={=(0,x2,xn)x2,xn∈R} 解 V是向量空间. 因为对于V的任意两个元素 a=(0,a2,an),B=(0,b2,bn)'∈y, 有 a+B=(0,a2 +b2:,a+b)EV a=(0,2,nn）'∈y
例2 判别下列集合是否为向量空间. V x ( x x ) x xn R T 1 = = 0, 2 , , n 2 , , 解 V 是向量空间 . 1 因为对于V1的任意两个元素 ( ) ( ) T n T = 0,a2 , ,an , = 0,b2 , ,b V , 1 ( ) 2 2 1 0,a b , ,a b V T 有 + = + n + n (0, , , ) . a2 a V1 T = n
例3判别下列集合是否为向量空间. V==(I2,R 解V,不是向量空间. 因为若a=(,2,an'∈V2, 则2a=(2,2a2,.,2an）'e'2 上页 区回
例3 判别下列集合是否为向量空间. V x ( x x ) x xn R T 2 = = 1, 2 , , n 2 , , 解 2 (2,2 , ,2 ) . a2 a V2 T 则 = n V 不是向量空间 . 2 (1, , , ) , 2 V2 a a T 因为若 = n