例1.求函数f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值， 解：第一步求驻点 ∫x(x,y)=3x2+6x-9=0 解方程组 f(x,y)=-3y2+6y=0 得驻点：(1,0)，(1,2)，(-3,0)，-3,2) 第二步判别.求二阶偏导数 B x(xy)=6x+6,(xy)=0,寸(x,y)=-6y+6 在点(1,0)处A=12,B=0,C=6, AC-B2=12×6>0,A>0, .f(1,0)=-5为极小值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 页下页返回结
例1. 求函数 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 A B C 的极值. 求二阶偏导数 f (x, y) = 6x + 6, xx f (x, y) = 0, xy f (x, y) = −6y + 6 y y 12 6 0, 2 AC − B = A 0, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
在点(1,2)处A=12,B=0,C=-6 4C-B2=12×(6)<0,∴f1,2)不是极值 在点(-3,0)处A=-12,B=0,C=6, 4C-B2=-12×6<0,.f(-3,0)不是极值： 在点(-3,2)处A=-12,B=0,C=-6 4C-B2=-12×(-6)>0,A<0, f(-3,2)=31为极大值 fxx(x,y)= 6x+6,fx(x,y)=0,y(,)=-6y+6 A B HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
在点(−3,0) 处 不是极值; 在点(−3,2) 处 为极大值. f (x, y) = 6x + 6, xx f (x, y) = 0, xy f (x, y) = −6y + 6 y y 12 6 0, 2 AC − B = − 12 ( 6) 0, 2 AC − B = − − A 0, 在点(1,2) 处 12 ( 6) 0, 不是极值; 2 AC − B = − A B C 机动 目录 上页 下页 返回 结束
求极值的步骤 fx'(xoyo)=0 第一步解方程组 fy'(xo-Yo)=0 得一切驻点 和偏导数不存在的点 第二步 对所求的驻点(xo,),求出二阶偏导数 fx(x0,y%人f(x0,%)和f(xo,yo) 第三步 定出AC-2的符号，由充分条件定理判定 f(x,)是否是极值，是极大值还是极小值。 ·极值点可能在驻点或使偏导数不存在的点中产生。 注意：z=x2+y2在点(0,0)偏导数不存在， HIGH EDUCATION PRESS 但有极小值
求极值的步骤 第一步 解方程组 '( , ) 0 '( , ) 0 0 0 0 0 = = f x y f x y y x 得一切驻点 第二步 对所求的驻点 ( , ), 0 0 x y 求出二阶偏导数 ( , ) ( , ) 0 0 '' 0 0 '' f x y f x y xx 、 xy ( , ) 0 0 '' f x y 和 yy ( , ) . 0 0 是否是 ，是极大值还是极小值 第三步 定出 的符号，由充分条件定理 判定 f x y 极值 AC−B2 和偏导数不存在的点 在点 (0,0) 偏导数不存在， 但有极小值。 注意： • 极值点可能在驻点或使偏导数不存在的点中产生
例2讨论函数z=x3+y3及z=(x2+y2)2在点0,0) 是否取得极值 解：显然(0,0)都是它们的驻点，并且在(0,0)都有 AC-B2 =0 Z= 3+y3在(0,0)点邻域内的取值 正 可能为 负 ,因此z(0,0)不是极值 0 当x2+y2≠0时，=(x2+y2>>00=0 因此z0,0)=(x2+y2)20.0)=0为极小值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2.讨论函数 及 是否取得极值. 解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 在(0,0)点邻域内的取值 , 因此 z (0,0) 不是极值. 因此 0 , 当x 2 + y 2 时 2 2 2 z = (x + y ) 0 z (0,0) = 为极小值. 正 负 0 在点(0,0) x y z o 并且在 (0,0) 都有 可能为 机动 目录 上页 下页 返回 结束