教学基本指标 教学课题第五章第一节向量及其线性运算 课的类型新知识课 教学重点向量的线性运算、用坐标进行向量的线性运算、 教学难点投影 方向角、投影 教学要求 正确理解向量的概念：向量的相关概念向量的表示、向量的模、单位向量、 向量、自由向量、向径、向量的相等、平行、垂直、夹角、共线、共面)： 2. 熟练掌握向量加（减）法及数与向量乘积的定义、运算规律： 3 理解空间直角坐标系的概念，熟练掌握向量的坐标表示，熟练掌握用向量的坐标 表示进行向量的加《减》法、数运算 熟记两点间的距离、向量的模、方向角（方向余弦）的计算公式，掌握向量在轴 上的投影及其性质
1 教 学 基 本 指 标 教学课题 第五章 第一节 向量及其线性运算 课的类型 新知识课 教学重点 向量的线性运算、用坐标进行向量的线性运算、 方向角、投影 教学难点 投影 教学要求 1. 正确理解向量的概念；向量的相关概念（向量的表示、向量的模、单位向量、零 向量、自由向量、向径、向量的相等、平行、垂直、夹角、共线、共面）； 2. 熟练掌握向量加（减）法及数与向量乘积的定义、运算规律； 3. 理解空间直角坐标系的概念,熟练掌握向量的坐标表示，熟练掌握用向量的坐标 表示进行向量的加（减）法、数乘运算； 4. 熟记两点间的距离、向量的模、方向角（方向余弦）的计算公式，掌握向量在轴 上的投影及其性质
举 学基本内容 1、既有大小又有方向的物理量称为向量。在数学上可用有向线段来表示向量，其长度表示向 量的大小，其方向（箭头）表示向量的方向。 向量的表示：以M,为起点，M,为终点的有向线段表示的向量记为M,M,有时也用一个 黑体字母（书写时，在字母上面加一箭头）米表示（见图5），如a或a 向量的模：向量的大小（数学上有向线段的长度）叫做向量的模，记作a,MM,.模为1 的向量称为单位向量，记作，模为0的向量称为零向量，记作0.零向量的方向可以看作是任 意方向. 向径：以原点O为始点，向一点M引向量OM,这个向量叫做点M对于点O的向径，记 作r,即r=OM. 自由向量：只与大小、方向有关，而与起点无关的向量称为自由向量. 2、空间直角坐标系： 过空间一个定点0，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且具有相同的长度单位，这 三条数轴分别称为x轴（横轴入y轴（纵轴、：轴（竖轴）入、统称坐标轴.其正向符合右手规则 这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系. 设M(x,y,)、M,(3,乃，)为空间两个点，通过M、M各作三个分别垂直于三条 坐标轴的平面，这六个平面组成一个以M、M,为对角线的长方体，由此可得 d-MM=(x-x)+(y-y)+(3-)月 d=MM2=(s-x)+5-y)+2-) 3、向量的夹角
2 教 学 基 本 内 容 1、既有大小又有方向的物理量称为向量. 在数学上可用有向线段来表示向量，其长度表示向 量的大小，其方向（箭头）表示向量的方向. 向量的表示： 以M1 为起点， M 2 为终点的有向线段表示的向量记为 M1M2 ，有时也用一个 黑体字母 （ 书写 时 ，在 字 母 上面 加 一 箭头 ） 来表 示 （ 见 图 5-1），如 a 或 a . 向量的模： 向量的大小（数学上有向线段的长度）叫做向量的模，记作 a ， M1M 2 .模为1 的向量称为单位向量，记作 e . 模为0 的向量称为零向量，记作0 . 零向量的方向可以看作是任 意方向. 向径： 以原点O 为始点，向一点 M 引向量OM ，这个向量叫做点 M 对于点O 的向径，记 作 r ，即 r = OM . 自由向量：只与大小、方向有关，而与起点无关的向量称为自由向量. 2、 空间直角坐标系： 过空间一个定点O ，作三条互相垂直的数轴，它们都以O 为原点且具有相同的长度单位，这 三条数轴分别称为 x 轴（横轴）、 y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴）、统称坐标轴. 其正向符合右手规则. 这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系. 设 M1 ( x1 , y1 , z1 )、 M2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两个点，通过 M1 、 M2 各作三个分别垂直于三条 坐标轴的平面，这六个平面组成一个以 M1 、 M 2 为对角线的长方体，由此可得 2 2 2 2 d 2 = M M = ( x − x ) + ( y − y ) + ( z − z ) ， 1 2 2 1 2 1 2 1 即 2 2 2 d = M1M 2 = (x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + (z2 − z1 ) . 3、向量的夹角
将向量a、b的始点重合，在两向量的所在平面上，若一个向量逆时针方向转过角度后可 与另一个向量正向重合，见图5-8，则称伪向量a、b的夹角，记作（位），即 (a4=6a）0￡. 4、向量的运算 以共起点向量a、b为平行四边形相邻两边，以a向量的起点作为起点的其对角线表示的向 量为两个向量的和，记为a+b,以a向量的终点为起点，b向量的终点为终点的对角线向量为向 量的差.记为a-b=a-b) 设是一个数，向量a与数的乘积a规定为 当九0时，加表示一向量，其大小2小-本方向与a同向： 当=0时，a=0是零向量：当k0时，a表示一向量，其大小h-2@,方向与a反 向.特别地，当=-1时(-1)a=-a. 5、向量的模、方向角 设a为任意一个向量，又设以、By为与三坐标轴正向之间的夹角(0aπ，见 图5-22，αBy分别为向量a的方向角.由于向量坐标就是向量在坐标轴上的投影，故有 a,=cosa,a,=cosB,a.=acosy, 其中cosa、cos B.cos)称为向量a的方向余弦，通常用它表示向量的方向 由模的定义，可知向量a的模为 向=V3-x+(g-y广+f,-)=2+a+a 或cosa= 由此可得cos2a4cos2B4cos2片1， 即任一向量的方向余弦的平方和为1 1 a,a,a）上=osa,cosB,c8 va,+a,+a
3 ( ) ( x − x ) + y − y + z 2 ( ) 2 ( ) 2 2 1 2 1 2 1 − z a 2 + a 2 + a 2 x y z a 2 + a 2 + a 2 x y z a 2 + a 2 + a 2 x y z a 2 + a 2 + a 2 x y z x y z 将向量a 、b 的始点重合，在两向量的所在平面上，若一个向量逆时针方向转过角度后可 与另一个向量正向重合，见图 5-8， 则称为向量a 、b 的夹角，记作 秗 a, b ，即 = 秗 秗 a, b = b, a (0 £ π)， 4、向量的运算 以共起点向量 a 、b 为平行四边形相邻两边，以 a 向量的起点作为起点的其对角线表示的向 量为两个向量的和，记为 a + b , 以 a 向量的终点为起点，b 向量的终点为终点的对角线向量为向 量的差. 记为 a − b = a+ −b . 设是一个数，向量 a 与数的乘积a 规定为 当 0 时，a 表示一向量，其大小 a = a ，方向与 a 同向； 当= 0 时，a = 0 是零向量；当 0 时，a 表示一向量，其大小 a = − a ，方向与 a 反 向.特别地，当= −1时， (−1)a = −a . 5、向量的模、方向角 设 a 为任意一个 向量 ， 又设、 、为 与三 坐标 轴 正向 之间 的 夹角 （ 0 £ ,, π ），见 图 5-22，, ,分别为向量 a 的方向角. 由于向量坐标就是向量在坐标轴上的投影，故有 cos x a a = , cos y a a = , cos z a a = , 其中cos、cos 、cos称为向量 a 的方向余弦，通常用它表示向量的方向. 由模的定义，可知向量 a 的模为 a = = . 或cos= ax ，cos= ay ，cos= az ， 由此可得cos2+ cos2 + cos2 = 1， 即任一向量的方 向余弦的 平方和为1. a 1 1 e a = = (ax , ay , az ) = (ax , ay , az )= (cos , cos cos ) . a a a 2 + a 2 + a 2