第八章向量代数与空间解析几何 5.求平面2x-2y+z+5=0与各坐标面的夹角的余弦. 6.一平面过点(1,0，-1)且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0),试求这平面方程 7.求三平面x+3v+:=1,2x-￥-：=0，-x+2y+2:=3的交点. 8.分别按下列条件求平面方程： (1)平行于x0:面且经过点(2，-5,3)： (2)通过：轴和点(-3.1，-2)： (3)平行于x轴且经过两点(4,0，-2)和(5,1,7) 9.求点(1,2.1)到平面x+2y+2z-10=0的距离. 第四节空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程 空间直线L可以看做是两个平面Ⅱ，和Ⅱ2的交线（图8-34）.如果两个相 交的平面Ⅱ，和Ⅱ2的方程分别为A,x+B)+ C,2+D,=0和Ax+By+C2:+D2=0,那么直 线L上的任一点的坐标应同时满足这两个平面 的方程，即应满足方程组 「Ax+By+C,2+D,=0, 0 (4-1) Ax+B2y+C2z+D:=0. 反过来，如果点M不在直线L上，那么它不可能 图8-34 同时在平面Ⅱ，和Ⅱ2上，所以它的坐标不满足方程组(4-1).因此，直线L可以 用方程组(4-1)来表示.方程组(4-1)叫做空间直线的一般方程. 通过空间一直线L的平面有无限多个，只要在这无限多个平面中任意选取 两个，把它们的方程联立起来，所得的方程组就表示空间直线L 二、空间直线的对称式方程与参数方程 如果一个非零向量平行于一条已知直线，那么这个向量就叫做这条直线的 方向向量， 由于过空间一点可作而且只能作一条直线平行于一已知直线，所以当直线 L上一点M,(xo,。,n)和它的一方向向量s=(m,n,p)为已知时，直线L的位置 就完全确定了.下面我们来建立这直线的方程. 设点M(x,y,z)是直线L上的任一点，则向量M。与L的方向向量s平行 ·30·
第四节空间直线及其方程 (图8-35).所以两向量的对应坐标成比例，由于M。而=(x-x。,y-y。,z-), s=(m,n,p),从而有 x-和.y-0.-① (4-2) n M 反过来，如果点M不在直线L上，那么由于Mi与s 不平行，这两向量的对应坐标就不成比例.因此方程 组(4-2)就是直线L的方程，叫做直线的对称式方 程或点向式方程， 图8-35 直线的任一方向向量s的坐标m,n和p叫做这 直线的一组方向数，而向量s的方向余弦叫做该直线的方向余弦 由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程如设 x-西=y-0-0=, m n x=x+mt, y=yo+nt, (4-3) Lz=z0+pt. 方程组(4-3)就是直线的参数方程. 例1用对称式方程及参数方程表示直线 「x+y+z+1=0, (4-4) 12x-y+3z+4=0. 解先找出这直线上的一点(x。,).例如，可以取x。=1,代入方程组 (4-4),得 y+2=-2. ly-3z=6. 解这个二元一次方程组，得 yg=0,20=-2, ①当m,n和p中有一个为零，例如m=0,面n与P0时，这方程组应理解为 ,x-x。=0, 当mA和p中有两个为零，例如m==0,而P≠0时，这方程组应理解为 ∫x-和=0， 1y-yo=0. ·31
第八章向量代数与空间解析几何 即(1,0，-2)是这直线上的一点 下面再找出这直线的方向向量3，因为两平面的交线与这两平面的法线向 量n1=(1,1,1),n2=(2,-1,3)都垂直，所以可取 i方k 5=m,×m2=111=4i-j-3k 2-13 因此，所给直线的对称式方程为 -31 令六号1，得所给直线的参数方程为 -3 rx=1+41, {y=-t, z=-2-31. 三、两直线的夹角 两直线的方向向量的夹角（通常指锐角或直角）叫做两直线的夹角， 设直线L,和L,的方向向量依次为5=(m1,n1,P1)和s=(m2,n2,P2),则L 和L2的夹角p应是(s1,S2)和(-S,3)=T-(s5)两者中的锐角或直角，因此 cosp=1c0s(s,5,)1.按两向量的夹角的余弦公式，直线L,和直线L的夹角p可由 cos=- Im m:+nn+pp: (4-5) mi+ni+pi√m+n+pi 来确定 从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论： 两直线L,和L,互相垂直相当于m,m,+n,n,+p,P:=0: 两直线么和，互相平行成重合相当于会-号会 例2求直线山：言中和：受号的夹角 解直线L,的方向向量为s,=(1,-4,1),直线L2的方向向量为s,= (2,-2,-1).设直线L,和L2的夹角为P,则由公式(4-5)有 11×2+(-4)×(-2)+1×(-1)1 cos = 下+(-4)+下2+(-2)2+（-1)2 ·32·
第四节空间直线及其方程 所以 o-4 四、直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角 中(0≤中<）称为真线与平面的夹角（图 8-36),当直线与平面垂直时，规定直线与平 面的夹角为？ 设直线的方向向量为s=(m,n,P),平面 的法线向量为n=(A,B,C),直线与平面的夹 图8-36 角为e,那么e=号-(a),因此s血g=1cs(m).按两向量夹角余弦的坐 标表示式，有 IAm Bn Cpl sin= (4-6) A+B2+C√m2+n+p 因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行，所以， 直线与平面垂直相当于 A-B。C m n p' (4-7) 因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线 向量垂直，所以，直线与平面平行或直线在平面上相当于 Am Bn Cp=0. (4-8) 例3求过点(1，-2,4)且与平面2x-3y+:-4=0垂直的直线的方程. 解因为所求直线垂直于已知平面，所以可以取已知平面的法线向量 (2,-3,1)作为所求直线的方向向量.由此可得所求直线的方程为 号片 2 五、杂例 例4求与两平面x-4z=3和2x-y-5z=1的交线平行且过点(-3,2,5)的 ·33·
第八章向量代数与空间解析几何 直线的方程. 解法一因为所求直线与两平面的交线平行，也就是直线的方向向量s一 定同时与两平面的法线向量”，、2垂直，所以可以取 s=1×n2=10 -4=-(4i+3+k), 2-1 -5 因此所求直线的方程为 4 3 解法二过点(-3,2,5)且与平面x-4z=3平行的平面的方程为 x-4z=-23, 过点(-3,2,5)且与平面2x-y-5z=1平行的平面的方程为 2x-y-5z=-33, 所求直线为上述两平面的交线，故其方程为 「x-4z=-23, 12x-y-5z=-33. 例5求直线2：片行与平面2x+y+:-6=0的交点 解所给直线的参数方程为 x=2+t,y=3+1,2=4+21 代入平面方程中，得 2(2+t)+(3+t)+(4+2)-6=0. 解上列方程，得：=-1.把求得的1值代入直线的参数方程中，即得所求交点的 坐标为 x=1,y=2,2=2. 例6求过点(21,3)且与直线兮-兮=一垂直相交的直线的方程 解先作一平面过点(2,1,3)且垂直于已知直线，那么这平面的方程应为 3(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0. (4-9) 再求已知直线与这平面的交点.已知直线的参数方程为 x=-1+31,y=1+21,2=-t. (4-10) 把(4-10)代人(4-9)中，求得：=号从面求得交点为号号、一引 以点21,3)为起点，点（号号-引为终点的向量 ·34·