3x2y1+xyl=o = 1, J'lx=0 = 4dy = 4(1 + x3)dx = y = x4 + 4x +C,lx=0 =1, 知C,=1再由初始条件y故所求解为y=x*+4x+1
dy 4 ( 1 x ) dx 3 = + 2 4 y = x + 4 x + C 再由初始条件 1 , 0 = x = y 知 C2 = 1 故所求解为 4 1 4 y = x + x + 1, 4 0 0 = = x = x = y y 3 2 13 x x y y + =
对于不含有y、y'、、J(k-I)的n阶方程F(x, y(k),... y(n)) = 0只须作变换,令 p= J(k)方程就可化为n一k阶方程F(x, , .", p(n-k) = 0求出通解后,再积分k次,即可求得原方程的通解
对于不含有y、y 、、y (k−1) 的n阶方程 ( , , ) 0 ( ) ( ) = k n F x y y 令 . (k ) p = y ( , , , ) 0 ( ) = n−k F x p p 求出通解后, 只须作变换, 再积分k次,即可求得原方程的通解. 方程就可化为 n − k 阶方程
例 解方程x解 令 p= (4),则方程变为p=0,可分离变量方程x p=Cx.于是由分离变量法解得v(4)积分4次 =Cx,所以原方程的通解为y=Cx +C,x3 +Cx+Cx+C!
例 解方程 0. (5) 1 (4) − y = x y 解 令 , (4) p = y 则方程变为 0, 1 − p = x p 由分离变量法解得 . p = C1 x 于是 , 1 (4) y = C x 所以原方程的通解为 4 5 2 3 3 2 5 y = C1 x + C x + C x + C x + C 积分4次 可分离变量方程
型的方程三、y"= f(y,y')特点方程缺自变量xdy解法设y'p =p(y) =p(y(x))EPdxdpdpdpdy2则方程变成V-2dx2dxdydxdydp:f(y,p).这是关于变量y,p的一阶方程pdy设它的通解为y=p=(y,C).分离变量并积分,dy得通解为=x+C2p(y,C)
= = x y y d d 2 2 d d x y y = 特点 解法 方程缺自变量x 三、 y = f ( y, y) 型的方程 则 x p d d = x y d d , d d y p = p 方程变成 = y p p d d 这是关于变量y , p 的一阶方程. 设它的通解为 ( , ). C1 p = y 分离变量并积分, 得通解为 2 1 ( , ) d x C y C y = + 设 p y p d d = f ( y, p). y = p = p( y) =p( y(x ))