S7.6线性变换的值域与核2
§7.6线性变换的值域与核 2
预习问题1.线性变换的值域与核的定义2.线性变换的秩与零度的定义
3 预习问题 1.线性变换的值域与核的定义 2.线性变换的秩与零度的定义
S7.6线性变换的值域与核第七章线性变换引入概念定义6(ELV)的值域V=EV;的核α -1(0) =[ = 0,FEV),也将&的值域和核表示为&V = Im.&,& -1(O) =Ker&VV/ -1(0)NO
一、 引入概念 定义6 A (∈L(V)) 的值域 A V = { Aξ| ξ∈V}；A 的 核 A －1 (0) = {ξ| Aξ= 0,ξ∈V}. ➢ 也将A 的值域和核表示为： A V = ImA , A －1 (0) = KerA . v A V 0 A V A －1 (0) 第七章 线性变换 §7.6 线性变换的值域与核
S7.6线性变换的值域与核第七章线性变换线性变换的值域与核都是V的子空间&V的维数称为的秩，&-1(O)的维数称为的零度
第七章 线性变换 §7.6 线性变换的值域与核 线性变换的值域与核都是𝑽的子空间. A V的维数称为A的秩，A －1 (0)的维数称为A的零度
S7.6线性变换的值域与核第七章线性变换&αV，α-1(0)是 V 的子空间证明：对任意的&α，βEV,α+β= & (α+β), k&α=& (kα)E& V,且αV非空，故&V是V的子空间对任意的α,βEα -1(O)→ &α=β=0 —→(α+β)=α+β=0, (ka)= kα= 0→α+β，kαE-1(0)，且 -1(0)非空，故α-1(0)是V的子空间称dim&V为&的秩，dim-l(）为&的零度
➢ 称dimA V为A 的秩，dimA －1 (0) 为A 的零度. ➢ A V , A －1 (0) 是 V 的子空间. 证明： 对任意的A α，A β∈A V， 第七章 线性变换 §7.6 线性变换的值域与核 A α+A β= A (α+β)， 对任意的α,β∈A －1 (0) → A α=A β= 0 → kA α= A (kα)∈A V， 且A V非空，故A V是V的子空间. A (α+β) =A α+A β= 0，A (kα)= kA α= 0 → α+β， kα∈A －1 (0) , 且 A －1 (0) 非空，故A －1 (0) 是V的子空间. □