第六章线性空间86.5线性子空间例5线性空间Pn中，齐次线性方程组a11x1 + a12x2 +... +a1nxn = 0a21x1+a22x2+...+a2nXn=0as1x1+as2x2+...+asnxn=0全部解向量构成之集W是Pn的一个子空间，称为该齐次线性方程组的解空间证明： 用矩阵方程AX=0表示该齐次线性方程组，则W={αIAα= 0}.对任意的α,βEW,a,bEP,A(aα+bβ)=a Aα+bAβ=0 + 0 =0,故知aa+bβEW，据补充命题可知，W是Pn的一个子空间
例5 线性空间Pn中，齐次线性方程组 全部解向量构成之集W是Pn的一个子空间，称为该齐次线性 方程组的解空间. 𝒂𝟏𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏𝒙𝒏 = 𝟎 𝒂𝟐𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏𝒙𝒏 = 𝟎 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝒔𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝒔𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒔𝒏𝒙𝒏 = 𝟎 证明： 用矩阵方程AX = 0表示该齐次线性方程组，则W ={α｜ Aα= 0}. 对任意的α,β∈W, a,b∈P, A(aα+bβ) =a Aα+bAβ= 0 + 0 = 0, 故 知aα+bβ∈W , 据补充命题可知，W是Pn的一个子空间. □ 第六章 线性空间 §6.5 线性子空间
第六章线性空间86.5线性子空间补充例题：过原点的直线是二维平面V2的子空间，过原点的平面是三维几何空间V.的子空间证明：过原点的直线上任意两个向量的和，任意一个向量的数乘均仍在该直线上，故符合补充命题的条件，所以过原点的直线是V2的子空间．过原点的平面对矢量加法，数乘运算仍然封闭，故是V3的子空间这里之所以要求过原点，是为了保证0α=0EW成立
补充例题： 过原点的直线是二维平面𝑽𝟐的子空间，过原点的 平面是三维几何空间𝑽𝟑的子空间. 证明： 过原点的直线上任意两个向量的和，任意一个向量的数乘 均仍在该直线上, 故符合补充命题的条件，所以过原点的直线是 𝑽𝟐的子空间. 过原点的平面对矢量加法，数乘运算仍然封闭，故 是𝑽𝟑的子空间. 这里之所以要求过原点，是为了保证 0𝜶=0∈ 𝑾成立. 第六章 线性空间 §6.5 线性子空间
86.5线性子空间第六章线性空间预习问题1.生成子空间的定义2.线性空间的生成元3.基扩张定理的内容
9 预习问题 1.生成子空间的定义 第六章 线性空间 §6.5 线性子空间 2.线性空间的生成元 3.基扩张定理的内容
第六章线性空间86.5线性子空间定义设α1,α2，αr是线性空间V中一组向量，这组向量所有可能的线性组合kia1+k2a2+...+krar所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因而是V的一个子空间，这个子空间叫做由α1,α2,αr生成的子空间，记为L(a1,a2, .,ar).由子空间的定义可知，如果V的一个子空间包含向量α1,α2,",αr，那么就一定包含它们所有的线性组合，也就是说，一定包含L(α1,α2,αr)作为子空间
第六章 线性空间 §6.5 线性子空间 定义 设𝛼1, 𝛼2, ⋯ , 𝛼𝑟是线性空间𝑉中一组向量，这组向量所有 可能的线性组合 𝑘1𝛼1 + 𝑘2𝛼2 + ⋯ + 𝑘𝑟𝛼𝑟 所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因而是𝑉的 一个子空间，这个子空间叫做由𝛼1, 𝛼2, ⋯ , 𝛼𝑟生成的子空间 ，记为 𝐿(𝛼1, 𝛼2, ⋯ , 𝛼𝑟). 由子空间的定义可知，如果𝑉的一个子空间包含向量 𝛼1, 𝛼2, ⋯ , 𝛼𝑟，那么就一定包含它们所有的线性组合，也就是说 ，一定包含𝐿(𝛼1, 𝛼2, ⋯ , 𝛼𝑟)作为子空间
第六章线性空间S6.5线性子空间在有限维线性空间中，任何一个子空间都可以这样得到.事实上，设W是V的一个子空间，W当然也是有限维的.设α1,α2,…αr是W的一组基，就有W = L(α1,α2, ..,αr)
第六章 线性空间 §6.5 线性子空间 在有限维线性空间中，任何一个子空间都可以这样得到.事实上 ，设𝑊是𝑉的一个子空间，𝑊当然也是有限维的.设𝛼1, 𝛼2, ⋯ , 𝛼𝑟是 𝑊的一组基，就有 𝑾 = 𝑳(𝜶𝟏,𝜶𝟐, ⋯ ,𝜶𝒓）