s 7. 7不变子空间2
§7.7 不变子空间 2
预习问题1.特征子空间的定义2.特征子空间的举例3
3 预习问题 1.特征子空间的定义 2.特征子空间的举例
87.7不变子空间第七章线性变换线性变换的值域与核都是V的子空间&V的维数称为的秩，&-1(O)的维数称为的零度
第七章 线性变换 §7.7 不变子空间 线性变换的值域与核都是𝑽的子空间. A V的维数称为A的秩，A －1 (0)的维数称为A的零度
S7.7不变子空间第七章线性变换不变子空间的概念及性质定义7EL(V)，W是数域P上线性空间V的子空间，称W是的不变子空间，简称为&一子空间，如果：对任意的EW，&eW.>即&WW（对线性变换&封闭）性质1 对任意的&EL(V)RWMV,{0是&一子空间（例1）
一、 不变子空间的概念及性质 定义7 A ∈L(V), W是数域P上线性空间V的子空间，称W是A 的不变子空间，简称为A －子空间，如果：对任意的ξ∈W， Aξ∈W . A W W V 第七章 线性变换 §7.7 不变子空间 ➢ 即 A W W （对线性变换A 封闭）. 性质1 对任意的A∈L(V), V,{0}是A－子空间（例1）
性质2对任意的ELV)，的值域V核&-1(O)是一子空间（例2)证明: 对nEV-→EV-→ME&V,nE& -1(O), M=0Eα-1(0)，故命题成立.性质3&=%α，则V,-1(0)是&一子空间(例3)证明：对任意的BEBV，(B)=B()EBV→V是&一子空间、 对任意的E% -1(O)，= 0，要证明EE B -1(0)，关键证()= 0. 而() = α () = α (0) = 0,口故%-1(0)是&一子空间同理：&V，&-1(0)是－子空间>由于f()=f()&,故f()V,f()-1(O)是 -子空间
性质2 对任意的A ∈L(V), A 的值域A V, 核 A －1 (0)是A －子空间(例2). 证明： 对η∈A V→η∈V→Aη∈A V, η∈A －1 (0) , A η= 0∈A －1 (0)，故命题成立. 性质3 AB =BA ，则B V, B －1 (0)是A －子空间(例3). 证明： 对任意的Bξ∈B V，A (Bξ) = B (Aξ)∈B V → B V是A －子空间. 对任意的ξ∈B －1 (0), Bξ= 0, 要证明 ξ∈B －1 (0)，关键证B (A ξ) = 0. 而 B (A ξ) = A (Bξ) = A (0) = 0, 故B －1 (0)是A －子空间. □ ➢ 同理： A V， A －1 (0)是B －子空间. ➢ 由于A f (A ) = f (A )A ，故 f (A ) V, f (A )－1 (0)是A － 子空间