标准正交基S9.2 72
§9.2 标准正交基 2
预习问题1.标准正交基的定义2.标准正交基的性质3.标准正交基的求法
3 预习问题 1.标准正交基的定义 2.标准正交基的性质 3.标准正交基的求法
s9.1定义与基本性质第九章欧氏空间概念及基本性质定义6Euclid空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交向量组
一 概念及基本性质 第九章 欧氏空间 §9.1 定义与基本性质 定义6 Euclid空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的 一个正交向量组．
89.1定义与基本性质第九章欧氏空间概念及基本性质定义1V中一组非零向量两两正交，则称其为正交向量组，注：单个非零向量所成向量组认为是正交向量组（因为在此向量组中找不到两个向量不正交）：性质1α1,2，…,αm}是正交组，则α1,αz，…,α线性无关.定义1V中一组非零向量两两正交，则称其为正交向量组证明：设k,α,+kzαz +.… +kmαm=0,用α;(i=1,,m)于该式两边作内积，即 (αi, k,αi+kzα2 + ... + kmαm) =ki(αi, α) + ... + k;(αi, α) + ... + km(αi, αm) = (αi, O) = 0
第九章 欧氏空间 §9.1 定义与基本性质 一. 概念及基本性质 定义1 V中一组非零向量两两正交，则称其为正交向量组. 注：单个非零向量所成向量组认为是正交向量组（因为在此向 量组中找不到两个向量不正交）. 性质1 {α1 ,α2 , ···,αm}是正交组，则α1 ,α2 , ···,αm线性无关 . 定义1 V中一组非零向量两两正交，则称其为正交向量组. 证明： 设 k1α1+ k2α2 + ··· + kmαm= 0, 用αi (i =1, ···, m)于该式两边 作内积， 即 (αi , k1α1+ k2α2 + ··· + kmαm ) = k1 (αi , α1 ) + ··· + ki (αi , αi ) + ··· + km(αi , αm) = (αi , 0) = 0
→k;(αi,α)=0 → 因a0，得 (αi,α)≠0,故k;=0(i =1,",m)→α1,αz,",αm线性无关dimV=n时，V中两两正交的向量不会超过n个（如平面上找不到三个两两正交的向量，空间中找不到四个两两正交的向量）定义2n维欧氏空间V中，n个向量的正交向量组称为V的正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基1三性质 2j,2,,8,是 V的标准正交基 =→(,6)i#jC证明：i=j时，由单位向量的定义得/(s,8）=s=l，故（8,8）=l；i≠j时，由正交向量的定义得（ε,8）=0，故命题成立
→ ki (αi , αi ) = 0 → 因αi≠ 0 ，得 (αi , αi ) ≠ 0，故 ki = 0 (i =1, ···, m) → α1 ,α2 , ···,αm线性无关 dimV = n 时，V中两两正交的向量不会超过 n 个 (如平面上找 不到三个两两正交的向量，空间中找不到四个两两正交的向量). 定义2 n维欧氏空间V中，n个向量的正交向量组称为V的正交 基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基