吉林大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第七章 参数估计

令 d 1 得几的极大似然估计值为 n 于是得到入的极大似然估计量为

令 得 的极大似然估计值为 于是得到 的极大似然估计量为   ln ( ) 0, d d 1 = − = = n i i x n L    , 1 ˆ 1 x x n n i i = = =  . 1 ˆ X  =

例9设总体X的概率密度为 0x8-1,0<x<1, f(x)= 0， 其它， 又设X,X2,…,Xn为X的样本，求0的矩估 计量与极大似然估计量. 解(1)由 4-ax=∫e=0u=g9 令 41=A1, 即 0+n i=1 解得的矩估计量为 1-X

例9 设总体 X 的概率密度为 又设 X1, X2 , … , Xn 为 X 的样本，求θ的矩估 计量与极大似然估计量．      = − 0 , , , 0 1 , ( ) 1 其它 x x f x   解 （1）由于 令 即 解得θ的矩估计量为   + = = = = − + − 1 0 1 1 , 1 ( )d d      EX xf x x x x x , 1 = A1 , 1 1 1 X X n n i = i = + =   . 1 ˆ X X −  =

(2)设样本值为x1,2…,x,(0<≤1) 似然函数为 uo-o In L(0)=nIn0+(0-1)>Inx;, i=1 令 品ho-g立n=0 解得θ的极大似然估计值为 6=- ∑h i= 因此，的极大似然估计量为 = ∑hX i=

（2）设样本值为 x1, x2 , … , xn (0＜ xi ＜ 1)， 似然函数为 ln ( ) ln ( 1) ln , ( ) , 1 1 1 1 1    = − = = − = + −         = = n i i n i i n n i i L n x L x x         令 解得θ的极大似然估计值为 因此, θ的极大似然估计量为 ln ( ) ln 0, d d 1 = + = = n i i x n L    , ln ˆ 1 = = − n i i x n  . ln ˆ 1 = = − n i Xi n 

3.设总体X的分布中含有k个参数0， 02,0,则似然函数是这些未知参数的函数 L=L(01,02,…,0k) 取对数后，求出lnL关于0的偏导数并令它等于 零，得到似然方程组 alnL=0,i=l,2…,k a0, 由此方程组解得0，的极大似然估计值0

3．设总体 X 的分布中含有 k 个参数θ1 , θ2 , …θk , 则似然函数是这些未知参数的函数 取对数后，求出lnL 关于θi 的偏导数并令它等于 零，得到似然方程组 ( , , , ), L = L 1  2   k i k L i 0, 1,2, , ln = =     由此方程组解得θi的极大似然估计值 ．i ˆ