我们规定，使得d业0=0的月就是的 de 极大似然估计值.由于nx是单增函数，所以 与L()有姐同的驻点，因此只需从 dIn L() 0 (2) do 中解出日就是的极大似然估计值，称方程(2)为极大似然方程
我们规定，使得 的 就是θ的 极大似然估计值．由于ln x是单增函数，所以 与 有相同的驻点，因此只需从 中解出 就是θ的极大似然估计值，称方程 0 d d ( ) = L ˆ L( ) ln L( ) 0 d d ln ( ) = L （2） ˆ （2）为极大似然方程．
例6设总体X~π（几），X1X2.…,Xn为总体 X的样本，求几的极大似然估计量. 解设样本值为x1,x2,,xm由于X的分布律为 2xe012 所以似然函数为 2=ix4)-e 令 h)=-+hA空x-Σx 2-2=0 da 得2的极大似然估计值为 因此得到九的极大似然估计量为 2x- ni=
例6 设总体 ，X1, X2 ,…, Xn为总体 X 的样本，求 的极大似然估计量． X ~ ( ) 解 设样本值为x1 , x2 ,…, xn . 由于 X 的分布律为 x = 0, 1, 2,… 所以似然函数为 e , ! ( , ) − = x p x x = = = − = = − + − = = n i i n i i n i i x n n i i L n x x x L p x i 1 1 1 1 ln ( ) ln ln( !). , ! ( ) ( , ) e 0, 1 d d ln ( ) 1 = − + = = n i i n x L , 1 ˆ 1 = = = n i i x x n . 1 ˆ 1 X X n n i = i = = 令 得 的极大似然估计值为 因此得到 的极大似然估计量为
例7设一批产品中含有次品，次品率p未知， 从中抽取容量为n的样本，求p的极大似然估计量. 解从总体中任取一件产品进行观测，其结果 可用随机变量X表示如下： 1 取出一件产品为次品 取出一件产品为正品 则X服从参数为p的(0-1)分布，其分布律为 pxp)=p'(1-p)-x,x=0,1 设X1X2,…,X,为X的一个样本，观察值为x1,x2,,xn,则似然函数为 n- p)=iep)-ip*-p=p3-m9 h(p)-=lnp2x+hl-pn-之
例7 设一批产品中含有次品，次品率 p 未知， 从中抽取容量为 n 的样本，求 p 的极大似然估计量. 解 从总体中任取一件产品进行观测，其结果 可用随机变量 X 表示如下： 则 X 服从参数为 p 的（0-1）分布，其分布律为 = 取出一件产品为正品 取出一件产品为次品 0, 1, X ( , ) (1 ) , 0,1. 1 = − = − p x p p p x x x 设 X1,X2 ,…, Xn为 X 的一个样本，观察值为x1 , x2 ,…, xn，则似然函数为 ln ( ) ln ln(1 )( ). ( ) ( , ) (1 ) (1 ) , 1 1 1 1 1 1 1 = = − = = − = + − − = = − = − = = n i i n i i n x n x i n i x x i L p p x p n x L p p x p p p p p n i i n i i i i
令 h0Σn-立0-0 dp 解得p的极大似然估计值为 因此p的极大似然估计量为 2.设总体X为连续型随机变量，其概率密度为f(x,0)0∈日，0为未知 参数.设X1X.…,Xn为来自总体X的样本，其观察值为x1,x2,,xn·则似 然函数为 L0)=Πf0, (3) 似然方程为 i= dlni(0)=0, d (4) 解出0的极大似然估计值为0=Ax,2,…,x).极大似然估计量为 0=0(X1,X2,,X,)
令 解得 p 的极大似然估计值为 因此 p 的极大似然估计量为 ( ) 0, 1 1 1 d d ln ( ) 1 1 − = − = − = = n i i n i i n x p x p p L p . 1 ˆ 1 x x n p n i = i = = . 1 ˆ 1 X X n p n i = i = = 2．设总体 X 为连续型随机变量，其概率密度为 ， ,θ为未知 参数．设 X1, X2 , …, Xn为来自总体 X 的样本，其观察值为 x1 , x2 ,…, xn ．则似 然函数为 （3） 似然方程为 （4） 解出θ的极大似然估计值为 ( x1 , x2 ,…, xn ) . 极大似然估计量为 ( X1 ,X2 ,…, Xn ) ． = = n i i L f x 1 ( ) ( , ), ln ( ) 0, d d = L f (x, ) ˆ ˆ = ˆ ˆ =
例8设总体X的概率密度为 Ae-is, x>0) 0，x≤0， 其中元>0为未知参数，(X1X2,,Xn)为样本， 求入的极大似然估计量， 解设样本值为(x1,3.…,xn)(>0,i=1,2,…,n),似然函数为 4)=.2)-e=e. h(2)=h2-22
例8 设总体 X 的概率密度为 其中 为未知参数，（ X1, X2 , …, Xn ）为样本， 求 的极大似然估计量． = − 0 , 0, e , 0, ( , ) x x f x x 0 解 设样本值为（x1, x2 ,…, xn）(xi＞0, i = 1, 2 ,… , n)，似然函数为 ln ( ) ln . ( ) ( , ) e e , 1 1 1 1 = − = − = = − = = = = n i i x n n i x n i i L n x L f x n i i i