tan x例2. 求 limx-0xtan xsin x解：lim limx-→>0xx-00xcos x1sinx= limlimx-→0xx-→>0cosxarcsin x例3. 求 limx->0x解：令 t =arcsinx,则 x= sint,因此1t原式 = lim: lim:1sintt>0t-→>o sinttooox机动目录上页下页返回结束
例2. 求 解: x x x tan lim →0 = → x x x x cos sin 1 lim 0 x x x sin lim →0 = x cos x 1 lim →0 =1 例3. 求 解: 令 t = arcsin x, 则 x = sint , 因此 原式 t t t sin lim →0 = t sin t =1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
-cosx例4. 求 limfx->02x2sin?xl2sin12.12 =解：原式=limlimx-222x-→02 x→0例5.已知圆内接正 n边形面积为元nAn = n R sin cos R证明：lim A,=元R2.n00sin 匹lim An = lim πR?证:cOs=R2n元nn→n>00nsind(x) =1lim说明：计算中注意利用Φ(x)g(x)→0oleoex机动自录上页下页返回结束
n n n R cos sin lim 2 → = R n 例4. 求 解: 原式 = 2 2 2 0 2sin lim x x x→ 2 1 2 1 = 例5. 已知圆内接正 n 边形面积为 证明: 证: n n A → lim n n n n A nR sin cos 2 = 说明: 计算中注意利用 2 0 sin lim = x→ 2 x 2 x 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
练习：求下列极限tan x -sin x1. lim3x→0sin' xolo0x机动自录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习: 求下列极限 3 0 tan sin 1. lim x sin x x → x −
二.单调有界原理（准则2）单调有界数列必有极限（准则2）Xi ≤x, ≤... ≤xn ≤xn+1≤...≤Mlim xn =a (≤M)n0xaXi ≥x2 ≥... ≥xn ≥ xn+1 ≥...≥ mlim xn =b (≥m)n→80+xbxxx2xmn+1:noleo0x机动自录上页下页返回结束
二.单调有界原理 ( 准则2 ) lim x a ( M ) n n = → lim x b ( m ) n n = → a b 机动 目录 上页 下页 返回 结束 单调有界数列必有极限 ( 准则2 )
1. xn =(1+l)n (n=1, 2, ...),第二个重要极限：证明数列（x极限存在．(P29～P30)证：利用二项式公式，有n =(1+1)nn(n-1) 1n(n-1)(n-2) 1n=1+1n+:2!3!2nnn(n-1)..(n-n+1) 1Xn!nn2(1-) +(1-)(1-2?=1+1++.+(1- I)(1- 2) . (1- n=l)no0lol00机动自录上页下页返回结束
第二个重要极限: 证明数列 极限存在 . (P29～P30) 证: 利用二项式公式 , 有 n n n x (1 ) 1 = + =1+ n n 1 1! 2 1 2! ( 1) n n n− + 3 1 3! ( 1)( 2) n n n− n− + + n n n n n n n 1 ! ( −1) ( − +1) + =1+1+ (1 ) 1 ! 1 n n + − (1 ) 2 n − (1 ) 1 n n− − (1 ) 1 2! 1 n − (1 1 ) + 3! 1 n + − (1 ) 2 n − 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1