第一讲从欧氏几何看球面 第「拼 容易证明,过球面外一点P作球面的切线,所有的切线长(切点与点P间的距离)相 等,它们构成一个圆锥而,如图1-5 如图1-6我们知道、在平面几何中有切线长定理、切割线定理、相交弦定理,这些 定理统称圆幂定理 图 图 如图1-7.类比圆幂定理,可以发现: 定理1从球面外一点P向球面引割线,交球面于Q,R两点:再从点P引球面的 任一切线,切点为S,则 s=PQ·PR 证明:如图1-7,连结SQ,SR 由于两条相交直线PS,PR唯一确定平面a,设平面a与球面的截而的圆心为O.由 圆幂定理可知 PS=PQ·PR 定理2从球面外一点P向球面引两条割线,它们分别与球面相交于Q,R,S,T 四点(图1-8),则 Q·PR=PS·PT 图1-8 图19 定理3设点P是球面内的一点,过点P作两条直线,它们分别与球面相交于Q R,S,T四点(图1-9),则 二晶5
CHAPTER 通离中课程标准实验教科书数学(选修3少)球面上 PQ·PR=PS·PT 你能仿照定理1的证明过程,证明定理2和定理3吗? 定理1、定理2和定理3统称为球幂定理 三,球面的对称性 圆是非常美的对称图形,它既是轴对称图形,又是中心对 称图形.球面是一个旋转曲面,与圆一样,球面也有很好的对 …… 称性,如图1-10,我们容易看出 (1)球面关于球心对称; (2)球面关于球的任意一条直 你还能发现其他一 些对称性喝? 径对称; (3)球面关于球的大圆对称 图1o 球面的这种对称性有很多应 用,对我们研究球面几何具有很大的帮助 1.求证:(1)用任意一个平面去截一个球,平面与球面的交线是一个圆; (2)这些圆中大圆是半径最大的圆 2.证明定理2和定理3 3.按照纬度的定义,北极的纬度是多少?南极呢? 4.假设地球的半径为R,如图,在北纬45°的纬线上有A,B 两点,且AB所对的圆心角为90°,求AB的长 5.在航海中,常用海里作为路程的度量单位,1海里的意义是 地球表面上大圓的1圖心角所对的弧长。已知地球的半径约 为6400km,1海里等于多少千米(精确到0.001km)? (第4题) 6.查阅有关资料,了解北回归线、南回归线,北极圈、南极围的纬度分别是多少? 7.球面具有很好的对称性,除正文中提到的外,球面还有哪些对称性质?你能举出一些实 例吗? 6
B 兰讲球面上的距离和角 在上讲中,我们从欧氏几何的角度看球面,运用欧氏儿何的研究方法,研究了球面的 一些性质.本讲我们从球面上的距离和角开始,进入球面儿何的学习 我们知道,位置是空间中最原始、最基本的概念之一.几何中常用点表示位置,并用 距离和角度(方位)来刻画位置间的关系.与欧氏几何的学习类似,对球面儿何的学习 我们从球面上的距离和角这两个最基本的概念开始 球面上的距离 如图2-1,我们知道,在平面上,经过两点可以连一条 直线,且只可连一条直线.平面上两点之间的所有连线中, 线段最短,这条线段的长度叫做两点之间的距离.平面上的 两条直线有两种位置关系:平行和相交,如果相交,那么只 有一个交点.平面上的直线可以无限延长等等.这些都是平 图21 面上直线的性质 在平而上可以画出直线,但球面是一个曲面,球面上的线是弯曲的,不存在直线.球 面上有没有某种曲线可以“扮演”平面上直线的角色呢?也就是说,连结球面上任意两点 有无数条曲线,而且它们的长短不一,其中是否存在一条最短的曲线? 如图2-2,一架飞机从北京首都国际机场 起飞,目的地是美国纽约肯尼迪国际机场.北 金i 京与纽约大致都在北纬40°上,如果不考虑其 他因素,飞机怎么飞行能够使航程最短? 图22 …………………………………:··“· 57
CHAPTER 通离中课程标准实验歉科书数学⑥透修33)圆上的人 我们用点B表示北京、点N表示纽约,点O表示球心.显然,在球面上,点B,点 N之间可以连无数条曲线.在这无数条曲线中,经过点B,点N之间有一个最短的路径 实际上,经过B,N,O三点(显然,这三点不在同一条直线上)的平面截球面,得到一 个圆,这个圆是大圆.大圆上的两点B,N把大圆分成两段圆弧,长的一段叫做优弧,短 的一段叫做劣弧.这段劣弧的长度就是球面上这两点之间的最短路径,我们称之为球面上 两点间的距离 再回到图2-2.飞机沿着大圆从北京向北经极地飞行到 达纽约,航程最短,它比飞机向东沿北纬40°的小圆.经旧 金山到达纽约的航程要短 如果我们把图中的大圆弧和小圆弧画到同一个平面,如 N 图23.观察图形可知,以点O为圆心,OB为半径的圆弧 BSN,比以点O为圆心,OB为半径的圆弧BIN要短.也 就是说,平面上经过任意两点的劣弧中,半径越大,劣弧 越短 这个结论非常重要,它的严格证明详见附录 图2-3 因此,球面上连结两点之间的最短路径是经过这两点的 一段大圆弧—劣弧 例1假设地球的半径为R,如图24,在北纬45的纬线 上有A,B两点,且AB所对的圆心角∠AOB=90°,求球面上 A.B两点间的距离 解:如图2-4,连结OA.OB,AB,OX).由纬度的意义, 可得 ∠OB=45°·OB=R·cos∠OBO=R·cs45°=5R 图24 同理,OA=2R 因为∠AOB=90 所以AB=√OA2+OB2=(2R)+(R)=R 在圆O中,劣弧 又因为OA=OB=R, AB的长度等于多少? 所以∠AOB=60°, 因此,球面上A,B两点间的距离等于2R 由于不在同一条直线上的三点唯一确定一个圆,因此过球面上两点必可连一条大圆 弧—劣弧,且只可连一条大圆弧劣弧.这类似平面上经过两点可以连一条直线,且 只可连一条直线;平面上两点之间的最短路径是线段.因此,球面上的大圆可以“扮演” 平面上直线的角色 尽管球面上的大圆可以“扮演”平面上直线的角色,但是两者之间也有很大的不同
第二讲球上的距离和角 第三拼 平面上的两条直线可以相交:只有一个交点;也可以不相交(平行):没有交点.但是球 面上任意两个大圆(类似平面上的两条直线)必定相交,且有两个交点 为什么球面上两个大圆必定相交,且有两个交点? 如图2-5.因为球面上的两个大圆所在的平面都经过球心 O,所以这两个大圆所在的平面有一个公共点,因此这两个平 面必有一条过球心O的相交直线,这条相交直线显然是球的直 径所在的直线,两个大圆的交点是这条直径的两个端点A.A 我们把球的直径的两个端点A,A称为对径点.因此,两个大 圆相交于对径点A.A 平面上两点间的距离在欧氏儿何中起着重要作用.同样, 球面上两点间的距离在球面几何中也起着重要的作用.球面角、 图2 球面三角形、球而多边形等等都是在球面上两点间距离的基础 上定义的 二、球面上的角 如图26,我们知道,在平面上过一点A,作两条射线AB,AC它们构成的图形叫 做角,并记作∠BAC.类似地,我们定义球面上的角—球面角. 如图27,过球面上一点A.作两条大圆弧AB,AC.它们构成的图形叫做球面角, 仍记作∠BAC.点A称为球面角的顶点,大圆弧AB,AC称为球面角的边,我们记作 AB. AC 图26 图27 9