CHAPTER 通高中课程标准实验教科书数学(选修33)球面上的几阿 如何度量球面角∠BAC? 如图2-8,球面角∠BAC的两边AB,AC延长后相交于 点A的对径点A.AB,AC所在大圆的半平面构成一个二面 角BAA'C,显然,球面角∠BAC与二面角BAA'C唯一对 应.我们用二面角BAA'C来度量球面角∠BAC,而二面角 LvO BAAC的大小用它的平面角来度量,这样球面角∠BAC的 大小可以用平面上的角来度量了,即在二面角BAA’C的棱 AA'上,如果我们在球心O处,分别作OD⊥AA,OE⊥ AA',且它们分别交球面角∠BAC的两边AB,AC于D,E 图28 两点,那么∠DXE为二面角BAA‘C的平面角.这时,用 ∠DE的大小度量球面角∠BAC. 从另外一个角度看,如图2-8,如果在点A处分别作大圆弧AB和AC的切线AB'和 AC',显然AB⊥AA',OD⊥OA,且AB和OD在同一个平面内,所以AB'∥OD.同理, AC∥OE.所以,∠BAC=∠DE.也就是说,∠DE等于点A处分别与球面角 ∠BAC的两边AB和C相切的射线AB和AC所成的角∠BAC 实际上,为了考虑问题的简便,二面角BAAC的平 面角通常取为大圆的圆心角∠DOE 由球面角的定义,我们再看一下经线经度的意义.如 图2-9,地球球面上一点的经线是过该点的经线(半个大 圆)所在半平面与过格林尼治天文台的经线所在半平面组 成的二面角的大小.如图2-9,点A在东经90°的经线上, 0经线 东经90°的意义就是球面角∠BNC=90.这个角我们也通 常取为赤道所在大圆的圆心角,即∠BOC=90 例2设地球的 图2-9 半径为R,且点A和 点B分别表示地球赤道上的两个城市,它们的经度 分别为东经15°和西经30°,那么它们之间的距离是 … 多少? 解:如图2-10,连结OA,OB,由经度的意义 我们知道,∠AOB=15°+30°=45°= 0经线 因此,球面上A.B两点之间的距离为R 图 10圆
第二讲球面上的距离和用 算二 球面上的距离和球面角是球面几何中最基本的两个概念,它们是学习球面几何最基础 的知识 多)1.已知地球的半径約为6400km,北京位于 题北纬40、东经116,分别求北京到赤道、 北极和南极的距离(用计算器,结果精确 到 1 km) 2.如图,球面上经过点A的两个大圆相交构成四个球面角 ∠BAC,∠BAC,∠BAC,∠BAC若∠BAC=a,分 别求∠BAC,∠BAC,∠BAC,并说明这四个球面角 的和是多少 3.请把球面上的距离和球面角与平面上的距离和角作一个 (第2题) 对比,并谈谈你对球面与平面性质的认识 11
B B 第全饼 球面上的基本图形 A 平面上除了直线和角之外,最基本的图形就是三角形了.类似地,本讲我们学习球面 上的基本图形—极与赤道、球面二角形、球面三角形. 、极与赤道 地球上有南极、北极和赤道.在球面几何中,我们也引进“极”和“赤道”的概念 如图3-1,我们知道,如果设点N为地球上的北极点,点O为地球的球心那么半径 ON垂直于赤道LN所在的平面。也就是说,过球心O且垂直于地球半径ON的平面截地 球球面所得的大圆是地球的赤道 图31 图3-2 如图3-2,我们可以在球面上任取一点A,过球心O且垂直于球半径OA的平面截球 面得到大圆LA,此时,我们称点A为极点,简称极;大圆LA称为以点A为极点的赤道 圆,简称赤道.这时,对于球面上的任意一点,均可得到与它对应的一个赤道;对于球面 上的赤道,均可得到与它对应的两个极点 从极与赤道的概念不难看出,它们是一体的,谁也离不开谁.有极就有与之对应的赤 道,有赤道就有与之对应的极.两者之间除此之外,是否还有其他紧密的联系? 12