第七讲球面三角形的边角关系……………33 一球面上的正弦定理和余弦定理…33 二用向量方法证明球面上的余弦定理………36 1.向量的向量积 ……………36 2.球而上余弦定理的向量证法……………37 三从球而上的正弦定理看球面与平面…38 四球面上余弦定理的应用——求地球上 两城市间的距离…………………39 思考題 第八讲欧氏儿何与非儿何……………42 平面几何与球面几何的比较…………42 二欧氏平行公理与非欧几何模型 庞加莱模型……………………43 三欧氏几何与非欧几何的意义… 45 阅读与思考非欧几何简史…………46 学习总结报告…………………………48 附永… ………50
在《数学2》中,我们学习过球体,它是以半圆的直径所在 直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体.包围球体的曲面 叫做球面.半圆的圆心叫做球心,半圆的半径叫做球的半径,半 圆的直径叫做球的直径(图0-1). 球面既可看成半圆以它的直径为旋转轴,旋转一周所成的曲 面,又可看成与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点 的集合.本专题将研究球面上的几何(以后简称球面儿何).考 察球面上的点、线以及某些几何图形的性质和度量等等 球面几何与人类的生产、生活息息相关.我们生活的地球可 图0-1 近似看成一个球,航海、航空、卫星定位等都离不开球面几何的 知识 球面与平而虽然都是几何图形,但是两者之间有很大的不同,同时又存在紧密的联 系.研究球面几何离不开欧氏几何,欧氏几何是研究球面几何的基础.我们可以通过类比 欧氏几何的一些结论,猜想球面几何的相关结论;也可以通过这种类比,得到球面几何的 研究方法.比如,在地球这样半径极大的球面上,从非常小的范围来看,大地好像一个平 而.我们站在操场上,感觉操场是很平的.这就好比半径很大的一个圆上的一段小圆弧可 近似看成线段一样.对地球表面面积非常小的局部区域,我们可以从欧氏几何的角度进行 研究、也就是说,把地球表面非常小的局部区域看成平面区域,这种观点就是所谓局部 “欧氏化”,此时所得结论与实际情况基本相符.但是,从大的范围看,如航海、航空、卫 星定位等实际问题,采用“欧氏化”的研究方法所得出的结论就可能产生很大的误差,这 时球面几何的知识就很有用了 类比是学习本专题的重要思想方法.类比欧氏几何的研究问题和研究方法,主要是平 面三角形的有关知识,提出球面几何的问题,研究球面上的图形,特别是球面三角形的有 关性质 本专题首先从我们熟悉的欧氏儿何出发,回顾平面、直线与球面的位置关系,得出与 圆幂定理类似的球幂定理.然后从距离和角出发,进入球面几何的学习.我们知道,距离 和角是平面上描述位置的基本慨念,类似地,球面上的距离和角是球面上描述位置的基本 概念.球面上的距离是本专题的核心概念,我们将学习球面上的距离和角的度量方法,并 在此基础上,引进球面上的基本图形.与三角形是欧氏儿何的研究重点一样,球面三角形 是球面几何的研究重点.我们将研究它的内角和,两个球面三角形全等的判定,球面三角 1
通高中课程标准实验教科书、数学(逃修33)球面上的几何 形的边角关系正弦定理、余弦定理等.在球面三角形的基础上,进一步学习球面多边 形的概念,并用球而多边形的内角和定理推导简单多面体的欧拉公式,体会球面几何与拓 扑学的联系,最后将系统地归纳欧氏几何与球面儿何等非欧儿何的联系与差异 通过本专题的学习,希望同学们在学会球面儿何基础知识的同时,认真体会球面儿何 在实践中的作用,学会用球面几何的知识解决一些简单的实际问题.从中感受球面几何是 描述客观世界的一类非常重要的数学模型,更好地了解我们生活的地球,更深入地认识客 观世界
B 赤道 第一饼 从欧氏几何看球面 我们以前学习的平面儿何和立体儿何统称欧儿里得儿何(简称欧氏儿何).本讲我们 从欧氏几何的角度,即把平面和球面都放到三维欧氏空间中,利用已学过的立体儿何知识 研究平面、直线与球面的位置关系及其几何性质,主要介绍平面与球面的位置关系、直线 与球面的位置关系、球幂定理以及球面的对称性 平面与球面的位置关系 类比直线与圆的位置关系,结合图1-1,我们知道,平面与球面有三种位置关系: 图11 1.平面与球面相交 用任意一个平面去截一个球,截面是圆面,平面与球面 你能证明这个结论 吗?试一试! 的交线是一个圆 当平面与球面相交时,球心到平面的距离小于球的半 径r 2.平面与球面相离 平面与球而不相交,没有交点,此时球心到平面的距离大于球的半径r. 3.平面与球面相切 平面与球面相交,且只有一个交点。此时球心到平面的距离等于球的半径r 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆,被不经过球 心的截面截得的圆叫做小圆 你能证明小圆的半 径小于大圓的半径吗? 如图1-2,当我们把地球看作一个球时,经线就是球面 试一试! 上从北极到南极的半个大圆,它以北极和南极为端点.国际 3
CHAPTER 蔷週高中课惺标准实验教科书数学(逃修33)球面上的几何 上,以过格林尼治天文台的经线为0°经线,向东叫做东经,向西叫做西经.地球球面上一 点的经线的经度是过该点的经线所在半平面与0°经线所在半平面所成的二面角的大小.例 如,点A的经度就是二面角ANSB的大小,即∠BOC的大小 G 赤道 0经线 图1-2 图13 赤道是一个大圆.与赤道所在平面平行的平面截地球表面所得的小圆叫做纬线,过地 球球面上一点的纬线的纬度是该点与球心的连线与赤道平面所成的角的大小.赤道以北叫 做北纬,赤道以南叫做南纬.赤道为0纬线.除赤道以外的其他纬线都是小圆.如图1-3 的纬线是北纬60° 很明显,地球表面上任意一点由经度和纬度唯一确定 如果没有特别说明,以后我们把地球看成球,把地球表面看成球面 二、直线与球面的位置关系和球幂定理 如图1-4,同样,直线与球面也有三种位置关系 1.直线与球面相交:直线与球面有两个交点,这条直线叫做球面的割线.此时球心到 直线的距离小于球的半径r; 2.直线与球面相离:直线与球面没有公共点。此时球心到直线的距离大于球的半 径 3.直线与球相切:直线与球面有且只有一个公共点,这个公共点叫做切点,这条直线 叫做球面的切线.此时球心到直线的距离等于球的半径r P 图1-4 图1-5 4