北大版《高等代数》 Q,m 6.设 A= a,E 其中a,≠a(当i≠j时)(i,j=1,2,.,r),E,是n,阶单位矩阵，证明： 与A可交换的矩阵只能是准对角矩阵 其中A是n,阶矩阵(1j=1,2,.,r). 证设 B= Ba B:s . BB2.Bn 与A可交换（其中B,是八，×n,阶矩阵），则由AB=BA,可得 a,EB,=B,a,Ej=1.,r） 当i≠j时，由a,B,=B,4,及a,≠a,因而必有B=0 于是，与A可交换的矩阵B只能是准对角矩阵
北大版《高等代数》 11 11 22 nn a a a 6.设 1 1 2 2 r r a E a E A a E = 其中 i j a a （当 i j 时）（ i j r , 1,2, , = ）， Ei 是 i n 阶单位矩阵，证明： 与 A 可交换的矩阵只能是准对角矩阵 1 2 r A A A 其中 Ai 是 i n 阶矩阵（ i j r , 1,2, , = ）． 证 设 11 12 1 21 22 2 1 2 r r r r rr B B B B B B B B B B = 与 A 可交换（其中 Bij 是 i j n n 阶矩阵），则由 AB BA = ，可得 ( , 1 , ) i i ij ij i i a E B B a E i j r = = 当 i j 时，由 i ij ij i a B B a = 及 i j a a ，因而必有 0 Bij = ． 于是，与 A 可交换的矩阵 B 只能是准对角矩阵
北大版《高等代数) B B 其中Bn是n阶矩阵(i,j=1,2,.,r). 7.用E,表示1行了列的元素（即（亿，）元)为1，而其余元素全为零 的nxn矩阵，而A=(a,)mm·证明： 1)如果AE2=E2A,那么当k≠1时a1=0,当k≠2时a2k=0: 2)如果AE,=E,A,那么当k≠i时a。=0,当k≠j时a4=0,且 a=an: 3)如果A与所有的n阶矩阵可交换，那么A一定是数量矩阵，即 A=aE. 证1)因为 (0a42 .0 a a2.a2n 0a21.0 0 0.0 EA= 0an. 0 0 0. 0 所以 a1==.=a2n=0,421=41=.=an1=0 即当k≠1时a1=0,当k≠2时a2=0 2)因为 /列 00.0 00.a.0 00.a .0 =E,A=a1a2.am i行 (00.am.0 00. 0
北大版《高等代数》 12 11 22 rr B B B 其中 Bii 是 i n 阶矩阵（ i j r , 1,2, , = ）． 7.用 Eij 表示 i 行 j 列的元素（即 ( , ) i j 元）为 1，而其余元素全为零 的 n n 矩阵，而 ( ) A a = ij n n ．证明： 1）如果 AE E A 12 12 = ，那么当 k 1 时 1 0 k a = ，当 k 2 时 2 0 k a = ； 2）如果 AE E A ij ij = ，那么当 k i 时 0 ki a = ，当 k j 时 0 jk a = ，且 ii jj a a = ； 3）如果 A 与所有的 n 阶矩阵可交换，那么 A 一定是数量矩阵，即 A aE = ． 证 1）因为 12 21 22 2 21 12 12 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n n a a a a a AE E A a = = = 所以 21 23 2 0 n a a a = = = = ， 21 31 1 0 n a a a = = = = 即当 k 1 时 1 0 k a = ，当 k 2 时 2 0 k a = ． 2）因为 j 列 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i i ij ij j j jn ni a a AE E A i a a a a = = = 行