《高等代数》课程教学资源（习题解答，北大版）第四章 矩阵

北大版《高等代数) 210 a”nn-:】 2 01=02" 00 0 0 事实上，当=1时，结论显然成立，现在归纳假设 10 2a-l2r2n-1-2 2 021= 0 -1 (n-）2-2 00 0 0 入- 于是 210 2a-am:a-ln-2】 210 01= 0 (n-l)-2 0 1 00 0 入- 0 0 2 =0 0 0 即证结论成立 3.设f(2)=a2"+a2m-+.+am-12+am,A是一个n×n矩阵，定 f(A)=aoA"+aA"++aA+a E 211) 1)f2)=22-1-1,A=312 1-10

北大版《高等代数》 6 1 2 1 ( 1) 1 0 2 0 1 0 0 0 0 0 n n n n n n n n n n n          − − −   −         =               事实上，当 n =1 时，结论显然成立，现在归纳假设 1 2 3 1 1 2 1 ( 1)( 2) ( 1) 1 0 2 0 1 0 ( 1) 0 0 0 0 n n n n n n n n n n n          − − − − − − −   − − −         = −               于是 1 2 3 1 2 1 ( 1)( 2) ( 1) 1 0 1 0 2 0 1 0 ( 1) 0 1 0 0 0 0 0 0 n n n n n n n n n n n             − − − − − −   − − −             = −                 1 2 1 ( 1) 2 0 0 0 n n n n n n n n n n       − − −   −     =         即证结论成立. 3.设 1 0 1 1 ( ) m m m m f a a a a     − = + + + + − ，A 是一个 n n 矩阵，定 义 1 0 1 1 ( ) m m m m f A a A a A a A a E − = + + + + − 1） 2 f ( ) 1    = − − ， 2 1 1 3 1 2 1 1 0 A     =       −

北大版《高等代数》 2九-+4-6》 试求f(A): 解1) f:用 513 =803 -21-2 2) -3}-309 -69 08 4.如果AB=BA,矩阵B就称为A与可交换，设 100 4-6 2)A=012 312 (010 3)A=001 (000 求所有与A可交换的矩阵 >

北大版《高等代数》 7 2） 2 f ( ) 5 3    = − + ， 2 1 3 3 A   − =     − 试求 f A( ) . 解 1） 2 2 1 1 2 1 1 1 0 0 ( ) 3 1 2 3 1 2 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 f A             = − −                   − − 8 2 4 2 1 1 1 0 0 11 2 5 3 1 2 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1             = − −                   − − − 5 1 3 803 2 1 2     =       − − 2） 2 1 2 1 1 0 ( ) 5 3 3 3 3 3 0 1 f A       − − = − +             − − 7 5 10 5 3 0 15 12 15 15 0 3       − − = − +             − − 0 0 0 0   =     4.如果 AB BA = ，矩阵 B 就称为 A 与可交换，设 1） 1 1 0 1 A   =     2） 100 0 1 2 3 1 2 A     =       3） 0 1 0 0 0 1 000 A     =       求所有与 A 可交换的矩阵

北大版《高等代数) 然》程4-E合)#校B-仁小为4可装田 s68e-ee·8 于是 80e-e88 所以 60-88 故c=0,a=d,b任意，从而所有与A可交换的矩阵为 a-68剑 其中a,b为任意常数. 2)同理，记 000 A=E+002 321 并设 a b c B=a b c 与A可交换，即 E 00 2 a G- 311八a9(ab八

北大版《高等代数》 8 解 1）若记 0 1 0 0 A E   = +     ，并设 a b B c d   =     与 A 可交换，即 0 1 0 1 0 0 0 0 a b a b E E c d c d                 + = +                     于是 0 1 0 1 0 0 0 0 a b a b c d c d             =       所以 0 0 0 0 0     c d a     =     故 c a d b = = 0, , 任意，从而所有与 A 可交换的矩阵为 0 a b B a   =     其中 a b, 为任意常数. 2）同理，记 0 0 0 0 0 2 3 2 1 A E     = +       并设 111 222 abc B a b c a b c     =       与 A 可交换，即 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 3 1 1 3 1 1 a b c a b c E a b c a b c E a b c a b c                         + = +                                     于是

北大版《高等代数》 000abc）abc000 002a46a69002 311八a92ab9八311 所以 0 0 0）(3cc2b+c 2a2 2b, 2c2 =3c c 2b+c 3a+a+a 3b+b+b2 3c+c+c2 3c2 C2 2b2 +cz 比较对应的（位，）元，可得 a=4-34,b=0,c=0 4-号9,4=596=4+59 于是所有与A可交换的矩阵为 1 6-34 0 0 B= a 其中a,b,C为任意常数 a b c 3)设B=4bG与A可交换，即 o 1 o a b ca b co 10 001a6G=a4G001 000八abc(a6c八000 于是 a b ca b c az b:C2=az ba C2 000000 故得

北大版《高等代数》 9 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 3 1 1 3 1 1 a b c a b c a b c a b c a b c a b c             =                   所以 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 0 0 0 3 2 2 2 2 3 2 3 3 3 3 2 c c b c a b c c c b c a a a b b b c c c c c b c     +     = +             + + + + + + + 比较对应的 ( , ) i j 元，可得 1 1 1 3 a b a = − ， b = 0， c = 0 2 1 2 3 a c = ， 2 1 1 2 b c = ， 2 1 1 1 2 c b c = + 于是所有与 A 可交换的矩阵为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 3 3 1 1 2 2 2 b a B a b c c c b c   −     =       +   其中 111 a b c , , 为任意常数. 3）设 111 222 abc B a b c a b c     =       与 A 可交换，即 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 a b c a b c a b c a b c a b c a b c             =                   于是 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 a b c a b c a b c a b c         =             故得

北大版《高等代数) a=a2=b2=0,a=b=c2,b=C 所以所有与A可交换的矩阵为 a b c B=0 a b 00a 其中a,b,c为任意常数. 5.设 a0.0 4= 10a2 0 00.an 其中a,≠a,(当i≠j时)(i,j=l,2,n),证明：与A可交换的矩阵只 能是对角矩阵. x1x2. 证设B= x21 X2m 与A可交换，于是由 (Xal xa2. ax1ax2. aax2.axn AB= a21 =BA= . 2.anxm ax,=ax(ij=l.,n) 即(a,-a,)x,=0(当a,≠a,时).有因为a,≠a,所以x,=00≠).于 是，与A可交换的矩阵B只能是对角矩阵

北大版《高等代数》 10 1 2 2 a a b = = = 0 , 1 2 a b c = = , 1 b c = 所以所有与 A 可交换的矩阵为 0 0 0 a b c B a b a     =       其中 abc , , 为任意常数. 5.设 1 2 0 0 0 0 0 0 n a a A a       =       其中 i j a a  （当 i j  时）（ i j n , 1,2, , = ），证明：与 A 可交换的矩阵只 能是对角矩阵. 证 设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn x x x x x x B x x x       =       与 A 可交换，于是由 1 11 1 12 1 1 1 11 1 12 1 1 2 21 2 22 2 2 2 21 2 22 2 2 1 2 1 2 n n n n n n n n n nn n n n n n nn a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x AB BA a x a x a x a x a x a x             = = =             有 ( , 1, , ) i j j ij a x a x i j n = = 即 ( ) 0 i j ij a a x − = （当 i j a a  时）.有因为 i j a a  ，所以 0( ) ij x i j =  .于 是，与 A 可交换的矩阵 B 只能是对角矩阵