显然,n阶矩阵A的特征多项式是的n次多项 式.特征多项式的重根也称为k重特征值.当 n≥5时,特征多项式没有一般的求根公式,即使 是三阶矩阵的特征多项式,一般也难以求根. 所以求矩阵的特征值一般要采用近似计算的 方法,它是计算方法课中的一个专题 在作业和考试中,一般是三阶行列式求特征值 般用0,1,-1,2,-2进行尝试先得到一个根,则 剩下的两个根可用解一元二次方程的办法解 6 2021/2/20
2021/2/20 6 显然, n阶矩阵A的特征多项式是l的n次多项 式. 特征多项式的k重根也称为k重特征值. 当 n5时, 特征多项式没有一般的求根公式, 即使 是三阶矩阵的特征多项式, 一般也难以求根, 所以求矩阵的特征值一般要采用近似计算的 方法, 它是计算方法课中的一个专题. 在作业和考试中, 一般是三阶行列式求特征值, 一般用0,1,-1,2, -2进行尝试先得到一个根, 则 剩下的两个根可用解一元二次方程的办法解
例1求矩阵-110 A 30 0 2 的特征值和特征向量. 解矩阵A的特征方程为 2+1-1 0 det(I-A)=42-30|=0 化简得(2-2)(x-1)2=0,A的特征值为1=2 2=1(二重特征值) 7 2021/2/20
2021/2/20 7 例1 求矩阵 1 1 0 4 3 0 1 0 2 A - = - 1 1 0 det( ) 4 3 0 0. 1 0 2 I A l l l l + - - = - = - - 的特征值和特征向量. 解 矩阵A的特征方程为 化简得(l-2)(l-1)2=0, A的特征值为l1=2, l2=1(二重特征值)
110 A=-430 当1→2时,由(41-4)X=0,即 3-10 100x2 000 得其基础解系为X1=(0,0,1),因此 k1X1(k1≠0为常数)是A的对应于A1=2的 特征向量 8 2021/2/20
2021/2/20 8 当l1=2时, 由(l1 I-A)X=0, 即 1 2 3 3 1 0 0 4 1 0 0 , 1 0 0 0 x x x - - = - 得其基础解系为X1=(0,0,1)T , 因此 k1X1 (k10为常数)是A的对应于l1=2的 特征向量. 1 1 0 4 3 0 1 0 2 A - = -
110 A=-430 102 当2=1时,由(2-A)X=0,即 2-10 4-20 10-1 000 得其基础解系为X2=(,2,-1),因此 k2X2(k2≠0为常数)是A的对应于22=1的 特征向量. 9 2021/2/20
2021/2/20 9 当l2=1时, 由(l2 I-A)X=0, 即 1 2 3 2 1 0 0 4 2 0 0 , 1 0 1 0 x x x - - = - - 得其基础解系为X2=(1,2,-1)T , 因此 k2X2 (k20为常数)是A的对应于l2=1的 特征向量. 1 1 0 4 3 0 1 0 2 A - = -
例2主对角元为a1,a2,…,amn的对角阵A或上 (下)三角阵B的特征多项式是 MA-B=(元-a1)(-a2).(x-am) 故A,B的n个特征值就是n个主对角元 2021/2/20
2021/2/20 10 例2 主对角元为a11,a22,...,ann的对角阵A或上 (下)三角阵B的特征多项式是 |lI-A|=|lI-B|=(l-a11)(l-a22)...(l-ann), 故A,B的n个特征值就是n个主对角元