线性代数第11讲 向量空间与线性变换 本文件可从网址 http://math.vip.sina.com 上下载 (单击ppt讲义后选择工程数学子目录) 2021/2/20
2021/2/20 1 线性代数第11讲 向量空间与线性变换 本文件可从网址 http://math.vip.sina.com 上下载 (单击'ppt讲义'后选择'工程数学'子目录)
4.1R的基与向量关于基的坐标 2021/2/20
2021/2/20 2 4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
R中的n个单位向量 61=[1,0,0,…,0 62=[0,1,0,…,0 E2=[0,0,0,…,1 是线性无关的 个m阶实矩阵4=[a1m如果≠0,则A的n个 行向量和n个列向量也都是线性无关的此外 R中任何n+1个向量都是线性相关的,因此Rn 中任一向量c都可用中n个线性无关的向量 来表示,且表示法唯一.由此给出基和坐标的 概念 3 2021/2/20
2021/2/20 3 Rn中的n个单位向量 e1=[1,0,0,...,0] e2=[0,1,0,...,0] ... en=[0,0,0,...,1] 是线性无关的 一个n阶实矩阵A=[aij]nn , 如果|A|0, 则A的n个 行向量和n个列向量也都是线性无关的. 此外, Rn中任何n+1个向量都是线性相关的, 因此Rn 中任一向量a都可用Rn中n个线性无关的向量 来表示, 且表示法唯一. 由此给出基和坐标的 概念
定义1设有序向量组B={1,B2…,Bn}CRn,如果 B线性无关,则任给∈R有 a=a1B1+a2/2+…+anB, (4.1) 就称B是R的一组基(或基底),有序数组 (a1,a2…,an)是向量a关于基B(或说在基B下)的 坐标,记作 a2=[a1a2,,an或ag=[a1a2,…,an], 并称之为α的坐标向量 显然R的基不是唯一的,而a关于给定的基的 坐标是唯一的.以后把n个单位向量组成的基 称为自然基或标准基 2021/2/20
2021/2/20 4 定义1 设有序向量组B={b1 ,b2 ,...,bn}Rn , 如果 B线性无关, 则任给aRn有 a=a1b1+a2b2+...+anbn , (4.1) 就称B是Rn的一组基(或基底), 有序数组 (a1 ,a2 ,...,an )是向量a关于基B(或说在基B下)的 坐标, 记作 aB=[a1 ,a2 ,...,an ]或aB=[a1 ,a2 ,...,an ] T , 并称之为a的坐标向量. 显然Rn的基不是唯一的, 而a关于给定的基的 坐标是唯一的. 以后把n个单位向量组成的基 称为自然基或标准基
在三维几何向量空间R3中,k是一组标准基, R3中任一向量a可唯一地表示为 arity+zk 这里有序数组(xy,2)称为a在基i,k下的坐标 如果c的起点在原点,(xy2)就是c的终点P的 直角坐标.(以后常用R3中向量a与空间点P的 对应关系,对中的一些问题及其结论在 R3中作几何解释 5 2021/2/20
2021/2/20 5 在三维几何向量空间R3中, i,j,k是一组标准基, R3中任一向量a可唯一地表示为 a=xi+yj+zk, 这里有序数组(x,y,z)称为a在基i,j,k下的坐标. 如果a的起点在原点, (x,y,z)就是a的终点P的 直角坐标. (以后常用R3中向量a与空间点P的 一一对应关系, 对Rn中的一些问题及其结论在 R3中作几何解释)