线性代数第10讲 线性方程组 本文件可从网址 http://math.vip.sina.com 上下载 (单击ppt讲义后选择工程数学子目录) 2021/2/20
2021/2/20 1 线性代数第10讲 线性方程组 本文件可从网址 http://math.vip.sina.com 上下载 (单击'ppt讲义'后选择'工程数学'子目录)
34齐次线性方程组有非零解的 条件及解的结构 2021/2/20
2021/2/20 2 3.4 齐次线性方程组有非零解的 条件及解的结构
对于以m×n矩阵A为系数矩阵的齐次线性方程 组 AX=O (3.15) 如果把4按列分块为A[a1,a,,an,它就可以 表示为向量等式 x1x1+x2a2+…+x2O2=0 (3.16 因此,(315)有非零解的充分必要条件是 Cx,C2,n线性相关 秩(4)=秩{a1,a2,an}<Mn 定理1设A是m×n矩阵,则齐次线性方程组 AX=0有非零解的充要条件为秩(A)<n 3 2021/2/20
2021/2/20 3 对于以mn矩阵A为系数矩阵的齐次线性方程 组 AX=0 (3.15) 如果把A按列分块为A=[a1 ,a2 ,...,an ], 它就可以 表示为向量等式 x1a1+x2a2+...+xnan =0 (3.16) 因此, (3.15)有非零解的充分必要条件是 a1 ,a2 ,...,an线性相关, 秩(A)=秩{a1 ,a2 ,...,an}<n. 定理1 设A是mn矩阵, 则齐次线性方程组 AX=0有非零解的充要条件为 秩(A)<n
设秩()=r,则矩阵A存在r个线性无关的行向 量,其余m-r个行向量可由这r个线性无关的行 向量线性表示.因此,对A作初等行变换可将 其化为有r个非零行的阶梯阵 0 2 2 2n U 0 0 0 0 2021/2/20
2021/2/20 4 设秩(A)=r, 则矩阵A存在r个线性无关的行向 量, 其余m-r个行向量可由这r个线性无关的行 向量线性表示. 因此, 对A作初等行变换可将 其化为有r个非零行的阶梯阵 2 2 11 2 1 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 r r r i i n iin ri rn c c c c c c c U c c =
由U/X=0与AX=0是同解方程组,以及U/X=0有非 零解的充要条件为r<n,就使本定理得证. 定理1的等价命题是:齐次线性方程组AX=0只 有零解的充要条件是秩(A)=A的列数 当A为n阶矩阵时,AX0有非零解的充要条件 还可以叙述为|4=0,AX=0只有零解的充要条 件可以叙述为|4≠0 5 2021/2/20
2021/2/20 5 由UX=0与AX=0是同解方程组, 以及UX=0有非 零解的充要条件为r<n, 就使本定理得证. 定理1的等价命题是:齐次线性方程组AX=0只 有零解的充要条件是 秩(A)=A的列数. 当A为n阶矩阵时, AX=0有非零解的充要条件 还可以叙述为|A|=0, AX=0只有零解的充要条 件可以叙述为|A|0