线性代数第14讲 次型 本文件可从网址 http://math.vip.sina.com 上下载 (单击ppt讲义后选择工程数学子目录) 2021/2/20
2021/2/20 1 线性代数第14讲 二次型 本文件可从网址 http://math.vip.sina.com 上下载 (单击'ppt讲义'后选择'工程数学'子目录)
二次型就是二次多项式.在解析几何中讨论的 有心二次曲线,当中心与坐标原点重合时,其 般方程是 ax2+2bxy+cy2-f (1) 方程的左端就是xv的一个二次齐次多项式 为了便于研究这个二次曲线的几何性质,通 基变换(坐标变换),把方程(1)化为不含xy混合 项的标准方程 a'x'z+cv (2) 在二次曲面的研究中也有类似的问题 2021/2/20
2021/2/20 2 二次型就是二次多项式. 在解析几何中讨论的 有心二次曲线, 当中心与坐标原点重合时, 其 一般方程是 ax2+2bxy+cy2=f (1) 方程的左端就是x,y的一个二次齐次多项式. 为了便于研究这个二次曲线的几何性质, 通过 基变换(坐标变换), 把方程(1)化为不含x,y混合 项的标准方程 a'x' 2+c'y' 2=f (2) 在二次曲面的研究中也有类似的问题
6.1二次型的定义和矩阵 表示合同矩阵 2021/2/20
2021/2/20 3 6.1 二次型的定义和矩阵 表示 合同矩阵
定义1n元变量x1,x2…,xn,的二次多项式 f(x +2a12x1x2+2a1 +∴+2a +a2x2+2a23x2x3+…+2a2x2xn + a (6.1 当系数属于数域F时,称为数域F上的 n元二次型.本章讨论实数域上的n 元二次型,简称二次型 2021/2/20
2021/2/20 4 定义1 n元变量x1 ,x2 ,...,xn的二次多项式 1 2 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 22 2 23 2 3 2 2 2 ( , , , ) 2 2 2 2 2 (6.1) n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x = + + + + + + + + + 当系数属于数域F时, 称为数域F上的 一个n元二次型. 本章讨论实数域上的n 元二次型, 简称二次型
由于x=x,具有对称性,若令 a (6.2) 则2x二x+a产xx(×<,于是61)式可以写 成对称形式 f(x,x2…,xn)=a1x2+a12x2+…+a1xn fa +a …+aL tanIn +, t...ta ∑∑ (6.3) 5 2021/2/20
2021/2/20 5 由于xi xj =xj xi , 具有对称性, 若令 aji =aij, i<j, (6.2) 则2aijxi xj =aijxi xj+ajixi xj (i<j), 于是(6.1)式可以写 成对称形式 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 ( , , , ) . (6.3) n n n n n n n n n nn n n n ij i j i j f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x = = = + + + + + + + + + + + =