★积分概念的联系 f(MOd=lim∑(MAa,/(M点函数 定积分当Σ→R上区间a,b时, 「(Mnda=∫∫(x)k 二重积分当Σ→R2上区域D时, f(M)dσ=‖f(x,y)do
( ) lim ( ) , ( )点函数 1 0 f M d f M f M n i i = → = ( ) ( ) . [ , ] , 1 = → b a f M d f x dx R a b 当 上区间 时 ( ) ( , ) . , 2 = → D f M d f x y d R D 当 上区域 时 积分概念的联系 定积分 二重积分
曲线积分当Σ→R2上平面曲线L时, ∫(M)d=[,f(x,y)ds 重积分当Σ→R3上区域Ω时, f(M)d=川f(x,y,z)d 曲线积分当Σ→R3上空间曲线r时, 「(Mnd=∫(x,y) 曲面积分当∑→R3上曲面S时, f(M)do=「f( x,y,)dS
= → f M d f x y z dV R ( ) ( , , ) , 3 当 上区域 时 ( ) ( , , ) . , 3 = → f M d f x y z ds R 当 上空间曲线 时 ( ) ( , , ) . , 3 = → S f M d f x y z dS R S 曲面积分 当 上曲面 时 曲线积分 三重积分 ( ) ( , ) . , 2 = → L f M d f x y ds R L 曲线积分 当 上平面曲线 时
★计算上的联系 ∫∫(x,yo=l∫ ∫(x,y)lx,(lo面元素) y1(x) ∫x,=∫的∫”/(x,,3(d体元素) b f(x,y)=Jx,yx+p2d,(线元素d) f(,y)d=,1x,x)线元素(投影)
计算上的联系 ( , ) [ ( , ) ] ,( ) ( ) ( ) 2 1 f x y d = f x y dy dx d面元素 b a y x y x D ( , , ) ( , , ) ,( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 1 2 1 f x y z dV dx dy f x y z dz dV体元素 b a y x y x z x y z x y = = + b L a f (x, y)ds f[x, y(x)] 1 y dx,(ds ( )) 2 线元素 曲 = b L a f (x, y)dx f[x, y(x)]dx,(dx线元素(投影))
f(x,J,z)ds=IfIx,D, z (x, y)11+zx+ (dS面元素(曲) R(x, y, z)dxdy=l[x,y, z(x, y)ldxdy (d面元素(投影) 其中』Pd+Qd=(Pca+gco Prydz+ Oddo+Rtd小 (P cos a+ocos B+Rcos n)ds
= + + Dxy x y f x y z dS f x y z x y z z dxdy 2 2 ( , , ) [ , , ( , )] 1 = Dxy R(x, y,z)dxdy f[x, y,z(x, y)]dxdy 其中 P Q R dS Pdydz Qdzdx Rdxdy ( cos cos cos ) = + + + + Pdx Qdy P Q ds L L ( cos cos ) + = + (dS面元素(曲)) (dxdy面元素(投影))
★理论上的联系 1定积分与不定积分的联系 I f(x)dx=F(b)-F((F(x)=f(x) 牛顿-莱布尼茨公式 2二重积分与曲线积分的联系 00 oP d=Px+Qh(沿L的正向) ax ay 格林公式
理论上的联系 1.定积分与不定积分的联系 f (x)dx F(b) F(a) (F (x) f (x)) b a = − = 牛顿--莱布尼茨公式 2.二重积分与曲线积分的联系 ( )dxdy Pdx Qdy (沿L的正向) y P x Q L D = + − 格林公式