2004年考研数学（二）真题评注

2004年考硕数学(二)真题评注 一.填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)设f(x)=1im(1),则(x)的间断点为x=0 n→>∞nx2+1 【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x,先用求极限的方法得出 f(x)的表达式,再讨论f(x)的间断点 【详解】显然当x=0时,f(x)=0 当x≠0时,f(x)=lim n→nx2+1n→ 0.x=0 所以f(x)={1 x≠0 因为imf(x)=1m1=≠/f0 故x=0为f(x)的间断点 【评注】本题为常规题型,类似例题见《题型集粹与练习题集》P21【例1.36】 x=t3+3t+1 (2)设函数y(x)由参数方程 确定,则曲线y=y(x)向上凸的x取值范围为 (-∞,1)(或(-∞,1]) 【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性,先用由 x=x(1) y=y(o 定义的dy=y1(0x(o)-x(o0(求出二阶导数,再由4y<0确定x的取值范围 dy 【详解】 dx dx 342+3 (2+1 (+1 dt dy d ddt 2 d2dh(a=(r2+1)3(2+1)-3x2+1 令 <0 又x=r3+3+1单调增,在t<0时,x∈(-∞,1)。(∵:t=0时,x=1→x∈(-∞,1时,曲线凸)

2004 年考硕数学（二）真题评注 一. 填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上. ） （1）设 2 ( 1) ( ) lim n 1 n x f x → nx − = + , 则 f x( ) 的间断点为 x = 0 . 【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的 x ,先用求极限的方法得出 f x( ) 的表达式, 再讨论 f x( ) 的间断点. 【详解】显然当 x = 0 时, f x( ) 0 = ; 当 x  0 时, 2 2 2 1 (1 ) ( 1) 1 ( ) lim lim n n 1 1 x n x x n f x nx x x x n → → − − = = = = + + , 所以 f x( ) 0, 0 1 , 0 x x x  =  =     , 因为 0 0 1 lim ( ) lim (0) x x f x f → → x = =   故 x = 0 为 f x( ) 的间断点. 【评注】本题为常规题型,类似例题见《题型集粹与练习题集》P21【例 1.36】 （2）设函数 y x( ) 由参数方程 3 3 3 1 3 1 x t t y t t  = + +   = − + 确定, 则曲线 y y x = ( ) 向上凸的 x 取值范围为 （ ，）（或（- ，1] ） −  1 . 【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ( ) ( ) x x t y y t  =   = 定义的 2 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) d y y t x t x t y t dx x t     − =  求出二阶导数,再由 2 2 0 d y dx  确定 x 的取值范围. 【详解】 2 2 2 2 2 3 3 1 2 1 3 3 1 1 dy dy t t dt dx t t t dx dt − − = = = = − + + + , 2 2 2 2 2 3 2 1 4 1 1 3( 1) 3( 1) d y d dy dt t dx t t t dt dx dx      = = −  =         + + + , 令 2 2 0 d y dx   t  0. 又 3 x t t = + + 3 1 单调增, 在 t  0时, x − ( ,1)。( t = 0时， x =1 x( ,1] − 时，曲线凸.)

【评注】本题属新题型.已考过的题型有求参数方程所确定的函数的二阶导数,如1989、1991、1994、 2003数二考题,也考过函数的凹凸性.关于参数方程求二阶导数是文登考研辅导班强调的重点,类似例 题见《数学复习指南》P53一般方法及【例2.9】和《临考演习》P86【题(10)】 【分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值 【详解1】 个x=813smr, dx 0 sect. tan t =2M=2 【详解2】 x=:n-(-2)h= dt= arcsin 【评注】本题为混合广义积分的基本计算题,主要考查广义积分(或定积分)的换元积分法,完全类似 的例题见《数学复习指南》P130-131【例4.54】 (4)设函数=(xy)由方程:=c23+2y确定,则32+=2 【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解 【详解1】在z=e2x32+2y的两边分别对x,y求偏导,z为x,y的函数 从而 a: 2e2r-3- az 2 所以 【详解2】令F(x,y,z)=e2x-32+2y-z=0 则 aFaF C二 2 aF

【评注】本题属新题型.已考过的题型有求参数方程所确定的函数的二阶导数, 如 1989、1991、1994、 2003 数二考题，也考过函数的凹凸性.关于参数方程求二阶导数是文登考研辅导班强调的重点, 类似例 题见《数学复习指南》P53 一般方法及【例 2.9】和《临考演习》P86【题（10）】. （3） 1 2 1 dx x x + = −  2  . 【分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值. 【详解 1】 2 2 1 0 0 2 sec tan sec sec tan 2 1 dx t t x t dt dt t t x x   +   = = = −     . 【详解 2】 0 1 1 1 1 0 2 0 2 2 2 1 1 1 ( ) arcsin 1 2 1 1 1 dx t x dt dt t x x t t t t +   = − = = = − − −    . 【评注】本题为混合广义积分的基本计算题,主要考查广义积分(或定积分)的换元积分法,完全类似 的例题见《数学复习指南》P130-131【例 4.54】. （4）设函数 z z x y = ( , ) 由方程 2 3 2 x z z e y − = + 确定, 则 3 z z x y   + =   2 . 【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解. 【详解 1】在 2 3 2 x z z e y − = + 的两边分别对 x , y 求偏导, z 为 x y, 的函数. 2 3 (2 3 ) z z x z e x x   − = −   , 2 3 ( 3 ) 2 z z x z e y y   − = − +   , 从而 2 3 2 3 2 1 3 x z x z z e x e − −  =  + , 2 3 2 1 3 x z z y e −  =  + 所以 2 3 2 3 1 3 2 2 1 3 x z x z z z e x y e − −   + + =  =   + 【详解 2】令 2 3 ( , , ) 2 0 x z F x y z e y z − = + − = 则 2 3 2 F x z e x  − =   , 2 F y  =  , 2 3 ( 3) 1 F x z e z  − = − −  2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 (1 3 ) 1 3 x z x z x z x z F z e e x x e e F z − − − −     = − = − =    − + + 

aF 2 从而3+=2/32 2 (1+3e231+3e2x=i 【详解3】利用全微分公式,得 dz (2dx-3d=)+2dy =2e2-3ax+2bh-3e2x-3c (1+3e2x-3)d=2e2x-3a+2dhy 1+3ed 1+3e3x-2h 2e2x-3 ax 1+3e 从而3ax+ay 【评注】此题属于典型的隐函数求偏导.相似的例题见《数学复习指南》P282【习题十第2,4题】 (5)微分方程(y+x)-2x=0满足y1=3的特解为y=x2+√ 【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初 值条件确定通解中的任意常数而得特解 【详解1】原方程变形为如-1y=1x2 先求齐次方程中-1y=0的通解 dx 2x dy 1 积分得 In y=Inx+Inc y 设y=c(x)√x为非齐次方程的通解,代入方程得 c'(x)√x+c(x) c(x) 从而c(x)

2 3 2 3 2 2 (1 3 ) 1 3 x z x z F z y y e e F z − −    = − = − =   − + +  , 从而 2 3 2 3 2 3 3 1 3 2 2 1 3 1 3 x z x z x z z z e x y e e − − −     + = + =     + +   【详解 3】利用全微分公式,得 2 3 (2 3 ) 2 x z dz e dx dz dy − = − + 2 3 2 3 2 2 3 x z x z e dx dy e dz − − = + − 2 3 2 3 (1 3 ) 2 2 x z x z e dz e dx dy − − + = + 2 3 2 3 2 3 2 2 1 3 1 3 x z x z x z e dz dx dy e e −  = + − − + + 即 2 3 2 3 2 1 3 x z x z z e x e − −  =  + , 2 3 2 1 3 x z z y e −  =  + 从而 3 2 z z x y   + =   【评注】此题属于典型的隐函数求偏导.相似的例题见《数学复习指南》P282【习题十第 2,4 题】. （5）微分方程 3 ( ) 2 0 y x dx xdy + − = 满足 1 6 5 x y = = 的特解为 1 3 5 y x x = + . 【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初 值条件确定通解中的任意常数而得特解. 【详解 1】原方程变形为 1 1 2 2 2 dy y x dx x − = , 先求齐次方程 1 0 2 dy y dx x − = 的通解: 1 2 dy dx y x = 积分得 1 ln ln ln 2 y x c = +  = y c x 设 y c x x = ( ) 为非齐次方程的通解,代入方程得 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 c x x c x c x x x x x  + − = 从而 3 2 1 ( ) 2 c x x  =

c(x)=/13 15 积分得 2d+C=x2+C, 于是非齐次方程的通解为 y=√x(x2+C)=C√x+x3 6 故所求通解为y=√x+x3 【详解2】原方程变形为 由一阶线性方程通解公式得 x e dx+C x e √x[x2ax+C|=√xx2+C 1()6 从而所求的解为y=√x+x3 【评注】此题为求解一阶线性方程的常规题,相似的例题见《临考演习》P62【16题第一问】 (6)设矩阵A=120,矩阵B满足ABA=2BAr+E,其中A为A的伴随矩阵,E是单位矩阵 则|= 【分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值 【详解1】AB=2BA+E台ABA-2BA=E, 分(A-2E)BA=E, A-2Ef|=|E=1, A-2EA010 (-1)(-1)329 004f 00-1

积分得 3 5 2 2 1 1 ( ) 2 5 c x x dx C x C = + = +  , 于是非齐次方程的通解为 5 1 1 2 3 ( ) 5 5 y x x C C x x = + = + 1 6 1 5 x y C = =  = , 故所求通解为 1 3 5 y x x = + . 【详解 2】原方程变形为 1 1 2 2 2 dy y x dx x − = , 由一阶线性方程通解公式得 1 1 2 2 1 2 2 dx dx x x y e x e dx C   −   = +      1 1 ln ln 2 2 1 2 2 x x e x e dx C   − = +      3 5 2 2 1 1 2 5 x x dx C x x C     = + = +          6 (1) 1 5 y C =  = , 从而所求的解为 1 3 5 y x x = + . 【评注】此题为求解一阶线性方程的常规题,相似的例题见《临考演习》P62【16 题第一问】. （6）设矩阵 2 1 0 1 2 0 0 0 1 A     =       , 矩阵 B 满足 ABA BA E 2   = + , 其中 A  为 A 的伴随矩阵, E 是单位矩阵, 则 B = 1 9 . 【分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值. 【详解 1】 ABA BA E 2   = + ABA BA E 2  − =   , ( 2 ) A E BA E  − =  , A E B A E 2 1   − = = , 2 2 1 1 1 1 2 0 1 0 ( 1) ( 1)3 9 1 0 0 0 0 1 B A E A A  = = = = − −  − −

【详解2】由A=r,得 ABA=2BA+E AB AA=2BAA+AA AB=2AB+A →|4(4-2E)B=A→|4A-2EB=|4 4||4-2E 【评注】此题是由矩阵方程及矩阵的运算法则求行列式值的一般题型,考点是伴随矩阵的性质和矩 阵乘积的行列式,相似的例题见《数学复习指南》P387-88【例218】,只需将例中A,互换,类似例 子还可见《临考演习》P48【题(6)】和P66【题(6)】 二.选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求把所选项前的字母填在题后的括号内.) (7)把x→0时的无穷小量a= Jo coside,B=∫otnt,y= Jo sinr'dr排列起来使排在后面 的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是 (A)a, B,y (B)a,r,B (C)B,a,y (D) B,r,a B 【分析】对与变限积分有关的极限问题,一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷 小代换求解 【详解】:lm=im0 sint dt cost dt sInx = lim 2x lim --=lim -=0 即y=o(a) B tan√ar tanx·2x 又y=mr s lim 2x2 sindh sIn x 即B=o(y)

【详解 2】由 1 A A A  − = ,得 1 1 1 ABA BA E AB A A B A A AA 2 2   − − − = +  = +  = + A AB A B A 2  − = A A E B A ( 2 ) 3  − = A A E B A 2 2 1 1 2 9 B A A E  = = − 【评注】此题是由矩阵方程及矩阵的运算法则求行列式值的一般题型,考点是伴随矩阵的性质和矩 阵乘积的行列式. 相似的例题见《数学复习指南》P387-888【例 2.18】,只需将例中 1 A A,  − 互换.类似例 子还可见《临考演习》P48【题(6)】和 P66【题(6)】. 二. 选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把 x 0 → + 时的无穷小量 2 0 cos x  = t dt  , 2 0 tan x  = t dt  , 3 0 sin x  = t dt  排列起来, 使排在后面 的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是 （A）    , , . （B）    , , . （C）    , , . （D）    , , .  B  【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷 小代换求解. 【详解】 3 0 0 0 2 0 sin lim lim cos x x x x t dt t dt   → → + + =   3 2 2 0 1 sin 2 lim x cos x x x → +  = 3 2 0 0 lim lim 0 x x 2 2 x x x → → + + = = = , 即   = o( ) . 又 2 0 0 0 3 0 tan lim lim sin x x x x tdt t dt   → → + + =   2 3 0 0 2 tan 2 2 lim lim 0 1 1 sin 2 2 x x x x x x x x → → + +  = = =  , 即   = o( )