例2确定f(x)=x3的单调性解 ： Df =(-80,+8),f'(x)=3x2 的零点为0，其余点处f'(x)>0,:f(x)在(一80,+8)上单调增。6/21
例 2 解 ( ) . 确定 f x = x3 的单调性 = (− ,+ ), D f ( ) 3 0 , f x = x 2 的零点为 其余点处 f (x) 0 , f ( x ) 在 (− , + )上单调增。 6/21
x(x-1)例3的单调区间确定 f(x)=x-1解D, =(-0, 1) U (1, + 0),局部性在D上f(x)=(x)=2x，零点为0。将f的符号与f的单调性列表如下0(0, 1)x(-80, 0)(1, +8)0++f"f连续:f在(-80,0]上单调减；在[0,1)上单调增；在(1,+80)上单调增。问：f在[0,+8)上单调增？7/21
例 3 解 . 1 ( 1) ( ) 2 确 定 的单调区间 −− = x x x f x = (− ,1)(1, + ). Df ( ) ( ) 2 , 2 D f x = x = x 局部性 在 上 零点为 0 。 将 f的符号与 f 的单调性列表如下： x (-, 0) 0 (0, 1) (1, +) f - 0 + + f 连续 上单调增。 f 在(− , 0]上单调减；在[0, 1)上单调增；在(1, + ) 问： f 在 [0, + )上单调增？ 7/21
注利用导数符号与单调性之间的关系可证明一些不等式。例4当x>0时，试证x>ln(1+x)成立证 设 f(x)=x-ln(1+x),：f(x)在[0,+)上连续、在(0,+8)上可导且x>0,f'(x)1+x:f(x)在[0,+8)上单调增；又：f(0)=0,:当x>0时， f(x)=x-ln(1+x)>0,证毕即 x >In(1 +x).8/21
例4 证 当x 0时, 试证x ln(1+ x)成立. 设 f (x) = x − ln(1+ x), 0, 1 ( ) ( ) [0, ) (0, ) + = + + x x f x f x 在 上连续、在 上可导且 f (x)在[0, + )上单调增；又 f (0) = 0 , 当x 0时， f (x) = x − ln(1 + x) 0, 即 x ln(1+ x). 注 利用导数符号与单调性之间的关系可证明 一些不等式。 证毕. 8/21