解析几何-引言-肖民卿

线性方程组与矩阵秩的若干问题肖民卿

线性方程组与矩阵秩的若干问题 肖民卿

引言矩阵秩的概念是由J.Sylvester于1861年引进的，它是矩阵的最重要数字特征之一这里，我们结合“矩阵与线性方程组”的教学讨论以下内容：矩阵秩描述的线性方程组解的判定定理在解析几何中的一个应用；矩阵秩的Sylvester不等式和Frobenius不等式中等号成立的充分必要条件

引言 矩阵秩的概念是由J.Sylvester于1861年引进的，它是矩 阵的最重要数字特征之一。 这里，我们结合“矩阵与线性方程组”的教学讨论以下内 容： 矩阵秩描述的线性方程组解的判定定理在解析几何中的 一个应用； 矩阵秩的Sylvester不等式和Frobenius不等式中等号成 立的充分必要条件

一，线性方程组解的判定定理在解析几何中的一个应用m个方程n个未知元的线性方程组一般表示为aiix+ai2x2+...+ainxn=ba21x +a22x2 +..+a2nXn =b2(1)[am) +am22 +..+amm, = bmmnm

一.线性方程组解的判定定理在解析几何 中的一个应用 m个方程n个未知元的线性方程组一般表示为： 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =     + + + =

线性方程组(1)的矩阵表示为：Ax=b其中,6alxai2b2a21a22X2annb=A=x=5......bam2amlxamnmbainanai262a22onna21A-....b.aaam2mlmnm

线性方程组(1)的矩阵表示为： Ax b = 其中， ( ) 11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 , , , n n m m mn n m n n m m mn m a a a x b a a a x b a a a x b a a a b a a a b a a a b             = = =             = =       A x b A A b

线性方程组有解的判定定理线性方程组(1)有解的充分必要条件是r(A) = r(A)这里，r(A)表示矩阵A的秩。特别地，若r(A)= r(A)= n，则线性方程组(1)有唯一解;若 r(A)= r(A)< n，则线性方程组(1)有无穷多解

线性方程组有解的判定定理 线性方程组(1)有解的充分必要条件是 r r ( ( ) A A ) = 这里， 表示矩阵 的秩。特别地， 若 ，则线性方程组(1)有 唯一解； 若 ，则线性方程组(1)有 无穷多解。 rrn ( ) ( ) A A = = r r n ( ) ( ) A A =  r( ) A A