习题课(一) 第十二章 阶微分方程的 解法及应用 一阶微分方程求解 解微分方程应用问题 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课 (一) 一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题 解法及应用 第十二章
一阶微分方程求解 1.一阶标准类型方程求解 四个标准类型:可分离变量方程,齐次方程 线性方程,全微分方程 关键:辨别方程类型,掌握求解步骤 2.一阶非标准类型方程求解 (1)变量代换法——代换自变量 代换因变量 代换某组合式 ()积分因子法——选积分因子,解全微分方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 (2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1求下列方程的通解 1)y x=0,(2)x (3)y (4)y 6x+3xy X 3x2y+2 提示:(1)因ey+x=eyex,故为分离变量方程 e y dy=e d 通解 e+c HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 求下列方程的通解 0; 1 (1) 3 2 + = y +x e y y 提示: (1) , 3 3 y x y x e = e e 因 + 故为分离变量方程: 通解 (2) ; 2 2 xy = x − y + y ; 2 1 (3) 2 x y y − = . 3 2 6 3 (4) 2 3 3 2 x y y x xy y + + = − y e y e x y x d d 3 2 − = − e e C y x = + − 3 3 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2)xy 2+y 方程两边同除以x即为齐次方程,令y=lx化为分 离变量方程 x>0时,y=1-(y)2+y-x=1-n x<0时,y 2,y X (3)y 2x 调换自变量与因变量的地位,他为dx2x d 用线性方程通解公式求解 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
方程两边同除以 x 即为齐次方程 , xy = x − y + y 2 2 (2) x 0时， 2 xu = 1− u 2 xu = − 1− u ( ) x y x y y = − + 2 1 ( ) x y x y y = − − + 2 1 令 y = u x ,化为分 离变量方程. 调换自变量与因变量的地位 , 2 2 1 (3) x y y − = 2 , d d 2 x y y x − = − 用线性方程通解公式求解 . 化为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
6x+3xy y+2y 方法1这是一个齐次方程.令=y X 方法2化为微分形式 (6x3+3xy2)dx+(3x2y+2y2)dy=0 aP 6xy ox 故这是一个全微分方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
2 3 3 2 3 2 6 3 (4) x y y x xy y + + = − 方法 1 这是一个齐次方程 . 方法 2 化为微分形式 (6 3 )d (3 2 )d 0 3 2 2 3 x + xy x + x y + y y = 故这是一个全微分方程 . x y 令 u = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x Q xy y P = = 6