第九节 第十二章 常系数非齐次线性微分方程 f(x)=eXPn(x)型 、f(x)=eI[P/(x) COSO +(x) SInox]型 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
常系数非齐次线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九节 f (x) = e x Pm (x) 型 f x e P x x l x ( ) = [ ( )cos ( )sin ]型 ~ P x x + n 一、 二、 第十二章
二阶常系数线性非齐次微分方程 y"+py+qy=f(x)(p,q为常数)① 根据解的结构定理,其通解为 y=r+y 齐次方程通解非齐次方程特解 求特解的方法一待定系数法 根据∫(x)的特殊形式,给出特解y*的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
y + py + qy = f (x) ( p, q 为常数) 二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理 , 其通解为 y = Y + y * 齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . ① — 待定系数法 机动 目录 上页 下页 返回 结束
f(x)=exPn(x)型 为实数,Pn(x)为m次多项式 设特解为y*=eQ(x),其中Q(x)为待定多项式, y米*=ex[Q(x)+Q(x) =e[xQ(x)+24Q(x)+Q"(x) 代入原方程,得 Q"(x)+(22+p)Q(x)+(42+p+q)Q(x)=Pm(x) (1)若λ不是特征方程的根,即x2+p+q≠0,则取 Q(x)为m次待定系数多项式On(x),从而得到特解 形式为y*=eQmn(x) 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
e [Q (x) x + (2 + p )Q(x) ( ) ( )] 2 + + p + q Q x e Pm(x) x = 一、 f (x) = e xPm (x) 型 为实数 , P (x) m 设特解为 y* e Q(x) , x = 其中 Q(x) 为待定多项式 , y* e [ Q(x) Q (x)] x = + * [ ( ) 2 ( ) ( )] 2 y e Q x Q x Q x x = + + 代入原方程 , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 则取 从而得到特解 形式为 y* e Q (x). m x = 为 m 次多项式 . Q (x) 为 m 次待定系数多项式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
Q(x)+(2A+p0(x)+(x+p4+q)(x)=Pm(x) (2)若λ是特征方程的单根,即 +P+q=0,2A+p≠0, 则Q(x).m次多项式,故特解形式为y*=xQn(x)ex (3)若λ是特征方程的重根,即 +P+q=0,2元+p=0 则Q(x)是m次多项式故特解形式为y=x2Qn(x)ex 小结对方程①,当λ是特征方程的k重根时可设 特解y*=xgn(x)ex(k=0,2) 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 学 HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束
(2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 是特征方程的重根 , 2 + p = 0 , 则Q(x) 是 m 次多项式, 故特解形式为 x y x Qm x e * ( ) 2 = 小结 对方程①, y* = x Q (x)e (k = 0,1, 2) x m k 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . Q(x) P (x) ( ) ( ) = m 2 + + p + q Q x 即 即 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设 特解 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例L.求方程y"-2y-3y=3x+1的一个特解 解:本题λ=0,而特征方程为r2-2r-3=0, =0不是特征方程的根 设所求特解为y*=bx+b,代入方程 3box-3b1-2b=3x+1 比较系数,得 3bn=3 b=-1,b1 -2bn-3b1=1 于是所求特解为y*=-x+ 3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 的一个特解. 解: 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 设所求特解为 代入方程 : 比较系数, 得 3 1 1, b0 = − b1 = 于是所求特解为 = 0 = 0 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束