第八节 第十二章 常系数齐次线性微分方程 基本思路 求解常系数线性齐次微分方程 转化 求特征方程(代数方程)之根 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
常系数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八节 齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根 转化 第十二章
阶常系数齐次线性微分方程: y"+py+qy=0(p,q为常数)① 因为r为常数时,函数e和它的导数只差常数因子, 所以令①的解为y=e(r为待定常数)代入①得 (r+pr+ge=0 +p+q=0 (2 称②为微分方程①的特征方程,其根称为特征根 1.当p2-4q>0时,②有两个相异实根n,n2,则微分 方程有两个线性无关的特解: x e 因此方程的通解为 Ciel+ce HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二阶常系数齐次线性微分方程: r x y = e 和它的导数只差常数因子, 代入①得 ( ) 0 2 + + = r x r pr q e 0 2 r + pr + q = 称②为微分方程①的特征方程, 1. 当 4 0 2 p − q 时, ②有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 r x r x y C e C e 1 2 = 1 + 2 ( r 为待定常数 ), ① 所以令①的解为 ② 则微分 其根称为特征根. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2当p2-4q=0时特征方程有两个相等实根n ,则微分方程有一个特解y=e1x 设另一特解y2=yl(x)=en(x)((x)待定) 代入方程得: e[(1”+22+n12n)+p(l2+1)+gn]=0 l2+(2h+Pn+(2 +P1+q)=0 注意n是特征方程的重根 L=0 取u=x,则得y2=xex,因此原方程的通解为 I+Cxe x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
2. 当 4 0 2 p − q = 时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 ( u (x) 待定) 代入方程得: [ 1 r x e ( ) ( 2 ) + p u + r1u + qu = 0 2 u + r1u + r1 u 是特征方程的重根 u = 0 取 u = x , 则得 , 1 2 r x y = x e 因此原方程的通解为 r x y C C x e 1 ( ) = 1 + 2 (2 ) ( 1 ) 0 2 u + r1 + p u + r1 + p r + q u = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3当p2-4q<0时,特征方程有一对共轭复根 n=a+iB, n=a-iB 这时原方程有两个复数解 hi =e(atip)x=ex(cos Bx+isin Bx) B)x=eax(cos Bx-isin B x) 利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解: y=2(+y2 ax e COS x 22=2(-y2)=e sin Bx 因此原方程的通解为 y=e (C1 cos Bx+ C2 sin B x) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
3. 当 4 0 2 p − q 时, 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解: i x y e ( ) 1 + = e (cos x i sin x ) x = + i x y e ( ) 2 − = e (cos x i sin x ) x = − 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解: ( ) 2 1 2 1 1 y = y + y ( ) 2 1 2 1 2 y y y i = − e x x = cos e x x = sin 因此原方程的通解为 ( cos sin ) 1 2 y e C x C x x = + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
小结 y"+py′+qy=0(p,q为常数) 特征方程r2+p+q=0,特征根:, 特征根 通 解 n≠乃实根y=Cenx+C2e =乃=y=(C1+C2x)2nx n2=a±iBy=e“(Ci1cos6x+C2 sin Bx) 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
小结: y + p y + q y = 0 ( p, q为常数) 0, 2 特征方程: r + pr + q = r x r x y C e C e 1 2 实根 = 1 + 2 r x y C C x e 1 ( ) = 1 + 2 ( cos sin ) 1 2 y e C x C x x = + 特 征 根 通 解 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束