同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第十章 曲线积分与曲面积分（10.7）斯托克斯公式

为便于记忆,斯托克斯公式还可写作 dydz dzdx dxdy ax Pdx+ody+rdz R 或用第一类曲面积分表示 cos a cos B cos元 ds=trpdx+ody+Rdz y P Q aR HIGH EDUCATION PRESS 0@8 定理1目录 下页返回结束

为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:         P Q R x y z d y d z d z d x d x d y  = Pd x + Qd y + Rd z 或用第一类曲面积分表示: S P Q R x y z d cos cos cos             = Pd x + Qd y + Rd z 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

例1利用斯托克斯公式计算积分hzdx+xdy+ydz 其中为平面x+y+z=1被三坐标面所截三角形的整个 边界,方向如图所示 解:记三角形域为∑,取上侧,则 zdx+xdy+ydz dydz dzdx dxdy D ∫ dydz+dzdx+dxdy=3 dxdy 利用对称性 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

z x y y z z x x y x y  z       = d d d d d d z x y 1 1 1 o 例1. 利用斯托克斯公式计算积分 其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个 解: 记三角形域为, 取上侧, 则 边界, 方向如图所示.  = d y d z + d z d x + d xd y 利用对称性 = Dx y 3 d xd y 2 3 = Dxy 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.为柱面x2+y2=2y与平面y=的交线从z 轴正向看为顺时针计计算=y2dx+ydy+xd 解:设Σ为平面二=y上被r所围椭圆域,且取下侧, 则其法线方向余弦 cos a=0, coS B cos r ∑× 利用斯托克斯公式得 y cosa cos B cos r ax d s (-zds=0 y O二 2 xy HIGH EDUCATION PRESS 公式目录上页下页返回结束

例2.  为柱面 与平面 y = z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针, 计算 o z 2  y x 解: 设为平面 z = y 上被  所围椭圆域 , 且取下侧, 利用斯托克斯公式得 I d S   = = 0 则其法线方向余弦 cos cos  cos  x y  z      y xy xz 2  公式 目录 上页 下页 返回 结束