吉林大学：《线性代数》课程电子教案（PPT课件）第三章 线性方程组与向量组的线性相关性

根据初等变换不改变矩阵秩数的性质，有R(A)=R(C)=r,且 R()=R(C.d)=r 当d,1=0时 r+l,当dr1≠0时 显然，当d≠0时，R(>R(A),(4)中第r+1个方程是矛盾方程， 即方程组(4)无解，进而方程组(1)无解：当d,1=0时，R(A)=R(A)=) 方程组(1)有解.若r=n,方程组(1)有唯一解x,=d,(i=1,2,…,n) 若r<n,(4)可改写为 x1=d1 -Cr-cunXn> x2=d2-C24141l--C2nxn X,=dr -Crrr.-Crnxn 由此可见，任给X,+1,X,+2,…,Xn的一组值，就可确定x,x2,,x,的一 组值，从而得到(4)或(1)的一个解.此时，方程组(1)有无穷多个解. 上述表达式称为方程组(1)的通解.X+1,x,+2,,x,称为一组自由变量 12

12 根据初等变换不改变矩阵秩数的性质,有R(A)  R(C)  r ,且           1, 0 . , 0 , ) R( , ) ~ R( 1 1 当 时 当 时 r r r d r d A C d 显然，当 时， ，(4)中第 个方程是矛盾方程， 即方程组(4)无解，进而方程组(1)无解； r 1 当 时, , 方程组(1)有解．若 ，方程组(1)有唯一解 0 dr1  ) R( ) ~ R(A  A 0 dr1  ) ( ) r ~ R( A  R A  r  n x d (i 1,2, , n); i  i   若 r  n，(4)可改写为                        . , , , 1 1 , 2 2 2, 1 1 2, 1 1 1, 1 1 1, r r r r r r n n r r n n r r n n x d c x c x x d c x c x x d c x c x        由此可见，任给 的一组值，就可确定 的一 组值，从而得到(4)或(1)的一个解．此时，方程组(1)有无穷多个解． r r n x , x , , x 1 2  r x , x , , x 1 2  上述表达式称为方程组(1)的通解．xr1 , xr2 ,, xn称为一组自由变量．

定理1非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是 R(A①)=R(A) 定理2相容线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件 是系数矩阵A的秩小于未知量的个数. 定理3齐次线性方程组A=0有非零解的充分必要条件是 系数矩阵A的秩小于未知量的个数 推论含有n个变量，n个方程的齐次线性方程组Ax=0只有 零解的充分必要条件是R(A)=n. 13

13 定理1 非齐次线性方程组Ax  b有解的充分必要条件是 ) R( ) ~ R(A  A 定理2 相容线性方程组 有无穷多解的充分必要条件 是系数矩阵A的秩小于未知量的个数． Ax  b 定理3 齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是 系数矩阵A的秩小于未知量的个数． Ax  0 推论 含有n个变量，n个方程的齐次线性方程组 只有 零解的充分必要条件是 ． Ax  0 R(A)  n

当线性方程组Ax=b有解时，就说该方程组是相容的，否则 就说它是不相容的.很显然，任何齐次线性方程组都有零解x=0, 所以齐次线性方程组总是相容的. 克莱姆[Cramer]法则n个未知量n个方程的线性方程组Ax=b ,当其系数行列式A≠0时，有唯一解 D x= ，j=1,2,…,n 其中D,是以b代替A中第列所得到的行列式， 定义若线性方程组Ax=b,的解都是A,x=b的解，反之Ax=b2 的解也都是Ax=b的解，则称线性方程组Ax=b与A,x=b,是同解 方程组. 线性方程组的三种初等变换： 1)用一个非零常数乘某一个方程； 2)把一个方程的若干倍加到另一个方程上： 3)互换两个方程的位置. 15

15 当线性方程组 有解时，就说该方程组是相容的，否则 就说它是不相容的．很显然，任何齐次线性方程组都有零解 ， 所以齐次线性方程组总是相容的． x  0 Ax  b 克莱姆[Cramer]法则 n个未知量n个方程的线性方程组 ，当其系数行列式 时，有唯一解 , Ax  b | A| 0 j n D x j j , 1,2, , | |    A 定义 若线性方程组 的解都是 的解，反之 的解也都是 的解，则称线性方程组 与 是同解 方程组． 1 1 A x  b A2 x  b2 2 2 A x  b 1 1 A x  b 1 1 A x  b 2 2 A x  b 其中 Dj是以b代替| A|中第j列所得到的行列式． 线性方程组的三种初等变换： 1）用一个非零常数乘某一个方程； 2）把一个方程的若干倍加到另一个方程上； 3）互换两个方程的位置．

非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是 aR小-”，6在唯 当R()<n时，Ax=b有无穷多解； 齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是：系数矩 阵A的秩小于未知量的个数（即A的列数）。 含有n个变量，n个方程的齐次线性方程组Ax=0只有零解 的充分必要条件是R(A)=n. 例3当λ取什么值时，方程组 2x1+x2+X3=0, x1+2x2+x3=0, 有非零解？ x1+x2+x3=0 解计算方程组的系数行列式 11 1元1 =(2-1)2(2+2) 112 16 根据定理3知，九=1或入=-2时，方程组有非零解

16 当 时， 有唯一解 ； 非齐次线性方程组 有解的充分必要条件是 Ax  b ) R( ) ~ R(A  A R(A)  n 当 时， 有无穷多解； Ax  b R(A)  n Ax  b 齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是：系数矩 阵A的秩小于未知量的个数(即A的列数）。 Ax  0 含有n个变量，n个方程的齐次线性方程组 只有零解 的充分必要条件是 ． Ax  0 R(A)  n 解 计算方程组的系数行列式 ( 1) ( 2) 1 1 1 1 1 1 2         根据定理3知， 1 或   2 时，方程组有非零解． 例3 当 取什么值时，方程组               0 0, 0, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x    有非零解？ 

例4求解齐次线性方程组 2x1+3x2+x3+2x4=0, 4x1+6x2+3x3+4x4=0 6x1+9x2+5x3+6x4=0, 8x1+12x2+7x+8x4=0. 解对系数矩阵施以初等行变换，有 2312 2312 2312 4634 0010 0010 6956 0020 0000 81278 0030 0000 显然R(A)=2,原方程组有非零解.与原方程组同解的方程组为 2x1+3x2+X3+2x4=0, X3 =0, 取x2,x4为自由变量，令x2=2C1,x4=C2,则原方程组的通解可表为 x1=-3C1-C2 X2= 2C12 x3=0, (其中9，c2为任意常数) X4= C2. 17

17 例4 求解齐次线性方程组                     8 12 7 8 0. 6 9 5 6 0, 4 6 3 4 0, 2 3 2 0, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 与原方程组同解的方程组为         0, 2 3 2 0, 3 1 2 3 4 x x x x x 解 对系数矩阵施以初等行变换，有        8 12 7 8 6 9 5 6 4 6 3 4 2 3 1 2 A             0 0 3 0 0 0 2 0 0 0 1 0 2 3 1 2 1 4 1 3 1 2 4 3 2 r r r r r r           0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 3 1 2 2 4 2 3 3 2 r r r r 显然R(A)  2 ,原方程组有非零解． 取 x2 ,x4 为自由变量,令 x2  2c1 , x4  c2 ,则原方程组的通解可表为           . 0, 2 , 3 4 2 3 2 1 1 1 2 x c x x c x c c （其中 c1 ,c2 为任意常数）