吉林大学：《线性代数》课程电子教案（PPT课件）第三章 线性方程组与向量组的线性相关性

克莱姆[Cramer]法则n个未知量n个方程的线性方程组Ax=b ,当其系数行列式A≠0时，有唯一解 D X)= j=1,2,…,n 其中D,是以b代替A中第列所得到的行列式. 例1解线性方程组 2x1+x2-5x3+x4=8 x1-3x2 -6x4=9, 2x2 -x3+2x4=-5 x1+4x2-7x3+6x4=0. 解方程组的系数行列式 2 1 -5 1 7-513 1 4 -3 0 -6 2 -1 2 02 -1 2 7-712 14 -7 6 2c2+C1 -3 -5 3 2c2+c3 3 0 -1 0 =-1( 27≠0. -7 -7 -2

7 克莱姆[Cramer]法则 n个未知量n个方程的线性方程组 ，当其系数行列式 时，有唯一解 , Ax  b | A| 0 j n D x j j , 1,2, , | |    A 其中 Dj是以b代替| A|中第j列所得到的行列式． 例1 解线性方程组                    4 7 6 0. 2 2 5, 3 6 9, 2 5 8, 1 2 3 4 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x 解 方程组的系数行列式 | A| 1 4 7 6 0 2 1 2 1 3 0 6 2 1 5 1      7 7 12 2 1 2 7 5 13     2c2+c1 2c2+c3 7 7 2 0 1 0 3 5 3        3 3 1( 1) 27 0. 7 2        

8 1-5 2 8 -5 1 2 18 1 2 1-5 8 9 -3 0 -6 0 -6 -3 9 -6 -3 0 D1= =81D2= =-108D3= =-27D4= 9 0 =27 -5 2 1 0-5-1 0 2-5 2 2 0 -7 6 1 0 -7 6 1 4 6 4 -7 0 根据克莱姆法则，原方程组有唯一一组解 X1=3,x2=-4,x3=-1,x4=1. 二、消元法 定义1若线性方程组4x=b,的解都是Ax=b的解，反之A,x=b, 的解也都是Ax=b,的解，则称线性方程组Ax=b,与Ax=b2是同解 方程组. 2x-x2+3x=1 例2解线性方程组 4x+2x2+5x3=4, 2x +2x=6 解将第1个方程的-2倍、-1倍分别加到第2、3两个方程上，得到 与原方程同解的方程组 2x1-x2+3x3=1 4x2-x3=2, x2-x3=5

8 81 0 4 7 6 5 2 1 2 9 3 0 6 8 1 5 1 1        D  108 1 0 7 6 0 5 1 2 1 9 0 6 2 8 5 1 2        D  27 1 4 0 6 0 2 5 2 1 3 9 6 2 1 8 1 3      D  27 1 4 7 0 0 2 1 5 1 3 0 9 2 1 5 8 4       D  根据克莱姆法则，原方程组有唯一一组解 1 2 3 4 x  3, x  4, x  1, x 1. 二、消元法 定义1 若线性方程组 的解都是 的解，反之 的解也都是 的解，则称线性方程组 与 是同解 方程组． 1 1 A x  b A2 x  b2 2 2 A x  b 1 1 A x  b 1 1 A x  b 2 2 A x  b 例2 解线性方程组              2 2 6. 4 2 5 4, 2 3 1, 1 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x 解 将第1个方程的-2倍、-1倍分别加到第2、3两个方程上,得到             5. 4 2, 2 3 1, 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x 与原方程同解的方程组

在上述方程组中，将第3个方程的1倍，-4倍分别加到第1,2两个方 程上，并交换2,3两个方程的位置，得同解方程组 2x1+2x3=6, x2-X3=5, 3x3=-18, 第1个方程两端同乘以) 第3个方程两端同乘以。，得 3 +x3=3, x2-x3=5, x3=-6 再将第3个方程的-1倍，1倍分别加到第1,2两个方程上，得原方程 组的解 x1=9, x2=-1, 3=-6. 9

9 在上述方程组中，将第3个方程的1倍，-4倍分别加到第1，2两个方 程上，并交换 2 ，3两个方程的位置，得同解方程组            3 18. 5, 2 2 6, 3 2 3 1 3 x x x x x 第1个方程两端同乘以 ，第3个方程两端同乘以 ，得 2 1 3 1            6. 5, 3, 3 2 3 1 3 x x x x x 再将第3个方程的 -1倍，1倍分别加到第1，2两个方程上，得原方程 组的解           6. 1, 9, 3 2 1 x x x

在上述求解线性方程组的过程中，不外乎对方程组施行以下三 种变换： 1)用一个非零常数乘某一个方程； 2)把一个方程的若干倍加到另一个方程上； 3)互换两个方程的位置， 它们统称为线性方程组的初等变换.经过初等变换得到的方程组都与 原方程组同解.而解线性方程组的过程，就是利用这三种初等变换 逐次“消元”，使原方程组逐步化简为与其同解的、能够直接给出解 的方程组. 从例2的解答过程中，我们不难发现，在对方程组施行初等变换 时，参与变化的仅是未知量的系数和常数项.因此，对线性方程组 Ax=b施行初等变换，相当于对增广矩阵A=(A,b)施行初等行变换， 反之亦然那么，求解线性方程组的过程，就是用初等行变换将增 广矩阵化为行最简形的过程. 10

10 在上述求解线性方程组的过程中，不外乎对方程组施行以下三 种变换： 1）用一个非零常数乘某一个方程； 2）把一个方程的若干倍加到另一个方程上； 3）互换两个方程的位置， 它们统称为线性方程组的初等变换．经过初等变换得到的方程组都与 原方程组同解．而解线性方程组的过程，就是利用这三种初等变换 逐次“消元” ，使原方程组逐步化简为与其同解的、能够直接给出解 的方程组． 从例2的解答过程中，我们不难发现，在对方程组施行初等变换 时，参与变化的仅是未知量的系数和常数项．因此，对线性方程组 施行初等变换，相当于对增广矩阵 施行初等行变换， 反之亦然． Ax  b ( , ) ~A  A b 那么，求解线性方程组的过程，就是用初等行变换将增 广矩阵化为行最简形的过程．

设A=[a,]mxn,R(A)=5不妨设矩阵A的前r列中有r阶 非零子式，对增广矩阵A施行换法变换，将非零子式所 在的行调到前r行，再经过若干次初等行变换，将A化为行最简形 0 ·0C14 1…. ….0 d. (C,d) 0 0 0 0 0 : 0 0 0 它所对应的、与原方程组Ax=b同解的方程组为 x1+ Cr+xrH+…+Cnxn=d1, 2+C2,+1Xl+…+C2nxn=d2 X+Crr+Cmxn =d 0=d,+ 0=0, 0=0 11

11 设 ，不妨设矩阵A的前r列中有r阶 非零子式，对增广矩阵 施行换法变换，将非零子式所 在的行调到前r行，再经过若干次初等行变换，将 化为行最简形 a r A  [ ij]mn ,R(A)  A ~ A ~         0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 ( , ) 1 , 1 1, 1 1 1                   r r r rn r r n d c c d c c d C d 它所对应的、与原方程组 Ax  b同解的方程组为                            0 0. 0 0, 0 , , , , 1 , 1 1 2 2, 1 1 2 2 1 1, 1 1 1 1          r r r r r rn n r r r n n r r n n d x c x c x d x c x c x d x c x c x d (4)