吉林大学：《线性代数》课程电子教案（PPT课件）第三章 线性方程组与向量组的线性相关性

x+2x2+x-3x=2, 例5求解线性方程组 x+3x2-3x3+2x,+=-3, 3x+4x3+2x3+2x-15x=12, 解 2x+3x2+4x3+5x4-36x5=10 12 0 1-3 [12 0 1 -3 2 13-32 1 -3 二3 A=(A,b)= -2听+月 0 1 -3 1 4 -5 3422-15 12 0-2 2-1 -6 6 23 45-36 10 0-1 4 3-30 6 [120 1-3 2 [120 1 -3 01-31 4 5 01-31 4 -5 00-41 2 -4 001 4 -26 1 0014-26 1 L00017 -102 0 所以原方程组同解于方程组 x1+2x2+ x4-3x=2, x2-3x3+x4+4x=-5, x3+4x4-26x=1, 17x4-102x=0 由最后一个方程得，依次回代到前 一个方程中，立得 x1=6+5x5 x=2-4x(其中X5是自由变量) x3=1+2x x4= 6x, 令x5=C,原方程组的通解可写成 x1=6+5c, x2=-2-4c (其中c为任意常数)· x3=1+2c, 18 x4= 6c

18 例5 求解线性方程组 1 2 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 3 2, 3 3 2 3, 3 4 2 2 15 12, 2 3 4 5 36 10. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                           解              2 3 4 5 36 10 3 4 2 2 15 12 1 3 3 2 1 3 1 2 0 1 3 2 ( , ) ~A A b                     0 1 4 3 30 6 0 2 2 1 6 6 0 1 3 1 4 5 1 2 0 1 3 2 1 4 1 3 1 2 2 3 r r r r r r               0 0 1 4 26 1 0 0 4 1 2 4 0 1 3 1 4 5 1 2 0 1 3 2 2 4 2 3 2 r r r r              0 0 0 17 102 0 0 0 1 4 26 1 0 1 3 1 4 5 1 2 0 1 3 2 3 4 4 3 4 r r r r 所以原方程组同解于方程组                   17 102 0. 4 26 1, 3 4 5, 2 3 2, 4 5 3 4 5 2 3 4 5 1 2 4 5 x x x x x x x x x x x x x 由最后一个方程得，依次回代到前一个方程中，立得             6 , 1 2 , 2 4 , 6 5 , 4 5 3 5 2 5 1 5 x x x x x x x x （其中 x5 是自由变量）． 令 x5  c ，原方程组的通解可写成             6 , 1 2 , 2 4 , 6 5 , 4 3 2 1 x c x c x c x c （其中c为任意常数）．

例6求解线性方程组 x+2x2+3x3+x4=1, x1-2x2+3x3-x4=-1) 解 x1-2x2+x3-5x4=5. 231 1 -23 1 A=(4,6)= -2 3 0 0 0-2 .2 1 -21-5 o 0 -2-6 4 「1-231 1 -8 -20015 0013-2 0 010-5 00011 0 0011 则原方程组的同解方程组为 x1=15+2x2, x3=-5, x4=1, 其中X2为自由变量，令x2=C(任意常数)，得原方组的通解 x1=15+2c, X2= C, x3=-5, x4=1. 19

19 例6 求解线性方程组                   2 5 5. 2 3 1, 2 3 1, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解 ( , ) ~A  A b           1 2 1 5 5 1 2 3 1 1 1 2 3 1 1              0 0 2 6 4 0 0 0 2 2 1 2 3 1 1 1 3 1 2 r r r r            0 0 0 1 1 0 0 1 3 2 1 2 3 1 1 2 3 3 2 ( 1/ 2) ( 1/ 2) r r r r           0 0 0 1 1 0 0 1 0 5 1 2 0 0 15 3 2 2 1 3 3 r r r r 8r3+r1 则原方程组的同解方程组为           1, 5, 15 2 , 4 3 1 2 x x x x 其中x2为自由变量，令x2  c（任意常数），得原方组的通解           1.5, , 15 2 , 4 3 2 1 x x x c x c

例7λ取何值时，方程组 x1+x2+x3+x4+x=5, x1+2x2+2x+2x4+2x=9, 2x1+3x2+3x3+3x4+3x,=14, 3x1+6x2+6x3+6x4+6x5=元. 有解？当方程组有解时，求其通解 解对增广矩阵施以初等行变换，得 1 1111 5 A=(A,b) 1 2 2 2 2 9 2 3 33314 6 666 「11 11 1 5 -32+"4 -1-2+3 01 1 1 1 4 -+52 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -27 20

20 例7 取何值时，方程组                         3 6 6 6 6 . 2 3 3 3 3 14, 2 2 2 2 9, 5, 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x x x x x  x x x x x x x x x x x x x x x 有解？当方程组有解时，求其通解． ( , ) ~ A  A b 1 1 1 1 1 5 1 2 2 2 2 9 2 3 3 3 3 14 3 6 6 6 6                       0 0 0 0 0 27 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 5 1 2 1 2 3 2 4 3  r r r r r r r 解 对增广矩阵施以初等行变换，得

00 00 1 -+行 0 11 11 4 5←4 0 0 0 0 0元-27 0 0000 0 可见，当入=27时，R(=R(),原方程组有解，其通解为 =1, x2=4-x3-X4-X5 其中x3,x4,x为自由变量，通解也可改写成如下形式 x1=1, x2=4-C1-C2-C3, (其中C1,c2,c为任意常数) X3= C1, X4= C22 X5= C3 21

21 可见，当  27时， ) R( ) ，原方程组有解，其通解为 ~ R(A  A         2 3 4 5 1 4 1, x x x x x 其中 x3 , x4 , x5为自由变量，通解也可改写成如下形式 1 2 1 2 3 3 1 4 2 5 3 1, 4 , , , . x x c c c x c x c x c              （其中c1 ,c2 ,c3为任意常数）           0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27 0 1 1 1 1 4 1 0 0 0 0 1 3 4 2 1  r r r r

例8入取何值时，非齐次线性方程组 x+x2+X3=1, x1+九x2+x3=九， x+x2+x=22, (1)有唯一解，并求出解；(2)无解；(3)有无穷多解，并求其通解. 解设 [1 1 1. 4 则 1 |A= 11 =(2+2)(2-1)2. 11元 当入≠-2,1时，非齐次线性方程组有唯一解： +1 -1 --1 1 x=Ab= +1 1 (2+2(2-1) -1 -1 (2+2) (+1)2 22

22 例8 取何值时，非齐次线性方程组 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1, , , x x x x x x x x x                    ⑴有唯一解，并求出解；⑵无解；⑶有无穷多解，并求其通解． 解 设 2 1 1 1 1 1 1 1 , 1 1 , 1 1 1 1 A A                            则 2 1 1 1 1 ( 2)( 1) . 1 1 A          当   2,1时，非齐次线性方程组有唯一解： 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ( 2)( 1) ( 2) 1 1 1 ( 1) x A b                                                      