81大数定律第五章大数定律及中心极限定理若X,P>a,Y,P>b.定理1函数g(x,y)在点(a,b)连续则 g(X,,Y,)-P→g(a,b).回忆数列的性质，比较它们的相似和不同性
第五章 大数定律及中心极限定理 §1 大数定律 g(X ,Y ) g(a,b). P 则 n n ⎯→ 定理1 若 Xn ⎯ P→a，Y b. P n ⎯→ 函数g(x, y)在点(a,b)连续， 回忆数列的性质，比较它们的相似和不同性
第五章大数定律及中心极限定理81大数定律定理2（切比雪夫大数定律）（Chebyshev大数定律）设随机变量X，X...相互独立，且具有相同的数学期望及方差，EXk=μ,DXk=α2,k=1,2,...则X，服从大数定律，即对任意的ε>0有2X-4<8-1,lim Pn>01k=l,2x -4≥81-0,或Plimn->[n k=]P(X-μZ)≤?/XPu,其中X-ZX.即n k=1D
第五章 大数定律及中心极限定理 §1 大数定律 定理2（ 切比雪夫大数定律） 且具有相同的数学 期望及方差， 设随机变量 X1 , Xn 相互独立， , , 1,2, , EXk = DXk = 2 k = 即对任意的 0 有 1, 1 lim 1 = − = → n k k n X n P 则 服从大数定律, Xn (Chebyshev大数定律) 0, 1 lim 1 = − = → n k k n X n 或 P . 1 , 1 = ⎯→ = n k k P X n 即 X 其中 X 2 2 P | X − | /
S1大数定律第五章大数定律及中心极限定理证明"W1Z.ZE=u,EXXkuknnk=1k=1k=192n"WN。2ZDX,DXknnnk=1k=lk=l由切比雪夫不等式得：P(lX-μ≥≤ /292x,-4≥8PA≤小2nnk=-1≥X-μ≥8=0.当n→8时，Pk=l思考：角能否把定理中独立性条件减弱？
第五章 大数定律及中心极限定理 §1 大数定律 由切比雪夫不等式得： − = n k Xk n P 1 1 0. 1 1 = → − = n k Xk n 当n 时，P 证明 = = n k EXk n 1 1 = n k Xk n E 1 1 = = n n k 1 1 = , = = n k DXk n 1 2 1 = n k Xk n D 1 1 = = n n k 1 2 2 1 . 2 n = 2 2 n 2 2 P | X − | / 思考：能否把定理中独立性条件减弱？
81大数定律第五章大数定律及中心极限定理定理3（伯努利大数定律）（Bernoulli大数定律）7（雅各布Jocob（1654-1705），瑞士数学家）2设n，为n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则：对任意的 ε>0有2LAPlimp<ε=1,或 lim P4=0p≥8>n-00nn-→n?V即证>p.n令第k次试验中A发生1,Xkk = 1,2,.,n.=10，食第k次试验中A不发生V
第五章 大数定律及中心极限定理 定理3（伯努利大数定律）(Bernoulli大数定律) （雅各布 Jocob（1654-1705），瑞士数学家） 设nA 为n重贝努里试验中事件 A发生的次数， p是事件A发生的概率， lim = 1, − → p n n P A n 证 令 1,2, , . 0 , 1, k n k A k A Xk = = ，第 次试验中 不发生 第 发生， 则：对任意的 0 有 §1 大数定律 lim = 0 − → p n n P A n 或 p. n 即 nA ⎯ P→
81大数定律第五章大数定律及中心极限定理则 nA-ZX,k=1X，,X，相互独立同服从于两点分布且 EX, = p, DX, = p(1-p), k = 1,2,:.,nPx-pke/=,lim 1P由定理2有n→001即lim P.<8=1.Dn->00该定理给出了频率的稳定性的严格的数学意义
第五章 大数定律及中心极限定理 由定理2有 1 1 lim 1, n k n k P X p n → = − = lim = 1. − → p n n P A n 即 则 ， = = n k nA Xk 1 , , . X1 Xn 相互独立同服从于两点分布 EX p DX p(1 p) k 1,2, ,n, 且 k = ， k = − ， = §1 大数定律