《线性代数》课程教学资源（试卷试题）第三章 线性方程组的解和维向量（典型例题详解）

123例3.1求矩阵A=01的秩-1(234)解（解法一）由定义可知，矩阵的秩即为矩阵中最高阶非零子式的阶数，而该矩阵的子式的最高阶数为3，首先考虑A是否存在3阶非零子式，由于[123125185[4=0 11=0 1 0=-3±0[2 7234237由最高阶非零子式的阶数为3，故r(A)=3.（解法二）对矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形，即(123）232(11301-101-101-123401-20-30非零行的行数为3，故r(A)=31-110102/-—例3.22求下列矩阵A=的秩，以及它的一个最高阶非零子式30-1 2(12-101)解由于初等行变换不改变矩阵的秩，所以一般采用初等行变换法求矩阵的秩先求矩阵的秩。为此，对A施以初等行变换，将其化为行阶梯形0010)00)1-110(1-1-11203031-11-1-1-11-1-1A=03000003021-11-1-1O000(12300-1011-11故矩阵的秩r(A)=3再求A的一个最高阶非零子式在A中取第1，2行和第1，2列可得非零子式1=30D, 则D,即为所求

例 3.1 求矩阵 1 2 3 0 1 1 2 3 4 A             的秩. 解 （解法一）由定义可知，矩阵的秩即为矩阵中最高阶非零子式的阶数，而该矩阵 的子式的最高阶数为 3，首先考虑 A 是否存在 3 阶非零子式. 由于 1 2 3 1 2 5 1 5 0 1 1 0 1 0 3 0 2 7 2 3 4 2 3 7 A        ， 由最高阶非零子式的阶数为 3 ，故 r A( ) 3  . （解法二）对矩阵 A 进行初等行变换，将其化为行阶梯形，即 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 1 1 0 1 1 0 1 1 2 3 4 0 1 2 0 0 3                                    非零行的行数为 3 ，故 r A( ) 3  . 例 3.2 求下列矩阵 1 1 0 1 0 2 1 1 1 1 3 0 1 2 1 1 2 1 0 1 A                  的秩，以及它的一个最高阶非零子式. 解 由于初等行变换不改变矩阵的秩，所以一般采用初等行变换法求矩阵的秩. 先求矩阵的秩. 为此，对 A 施以初等行变换，将其化为行阶梯形. 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 2 1 1 1 1 0 3 1 1 1 0 3 1 1 1 3 0 1 2 1 0 3 1 1 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 1 0 3 1 1 1 0 0 0 0 0 A                                                    故矩阵的秩 r A( ) 3  . 再求 A 的一个最高阶非零子式. 在 A 中取第 1， 2 行和第 1， 2 列可得非零子式 2 1 1 3 0 2 1 D     ， 则 D2 即为所求

346例3.3设A=2求r(A)及r(A)-6-9(-3解由于A的三行元素对应成比例，因此A=0，而且任意2阶子式均为零，又因为存在一阶非零子式D=1±0，因此可知r(A)=1.因为A中的元素为A中的元素所构成的二阶子式，从而(000)000A* =(000)进而有r(A)=0例3.4设A为5阶方阵，且r(A)=2，求r(A)解由r(A)=2可知，矩阵A的最高阶非零子式是2阶的，因此任意r阶子式(r≥3)均为零.由于A为5阶方阵，且A=（4）5x其中A,为元素a的代数余子式，则A,为A的4阶子式易得A,=0(1<≤i,j≤5)，因此A=0，因此r(A)=0(4812k)3696例3.55设A=问k取何值时，可使（1）r(A)=1：（2）r(A)=2(1 2 32)(4812k123412399解A=63如36DA0Ok-0(1234812000可得（1）当k-8=0，即k=8时，可使r(A)=1：（2）当k-8±0，即k±8时，可使r(A)=2

例 3.3 设 123 2 4 6 3 6 9 A               ，求 r A( ) 及 r A( ) . 解 由于 A 的三行元素对应成比例，因此 A  0 ，而且任意 2 阶子式均为零，又因为 存在一 阶非零子式 1 D  1 0 ，因此可知 r A( ) 1  . 因为 * A 中的元素为 A 中的元素所构成的二阶子式，从而 000 000 000 A             ， 进而有 r A( ) 0   . 例 3.4 设 A 为 5 阶方阵，且 r A( ) 2  ，求 r A( ) . 解 由 r A( ) 2  可知，矩阵 A 的最高阶非零子式是 2 阶的，因此任意 r 阶子式 ( 3) r  均 为零. 由于 A 为 5 阶方阵，且  5 5 A Aij    其中 Aij 为元素 ij a 的代数余子式，则 Aij 为 A 的 4 阶 子式 易得 0 (1 , 5) A i j ij    ，因此 A   0 ，因此 r A( ) 0   . 例 3.5 设 4 8 12 3 6 9 6 1 2 3 2 k A            ，问 k 取何值时，可使（1） r A( ) 1  ；（2） r A( ) 2  . 解 4 8 12 1 2 3 2 1 2 3 2 3 6 9 6 3 6 9 6 0 0 0 8 1 2 3 2 4 8 12 0 0 0 0 k A k k                                 ， 可得 （1）当 k  8 0 ，即 k  8 时，可使 r A( ) 1  ； （2）当 k  8 0 ，即 k  8 时，可使 r A( ) 2 

10123-k0例3.6设A=问k取何值时，可使2)(k-2-1(1) r(A)=2;(2) r(A)=3.100(1011112o003-k3-k-21k-4解A=2(o(k-2-1-14-k03-k-2(1 01D01k-400(k-2)(k-5))故（1）当(k-2)(k-5)=0，即k=2或k=5时，可使r(A)=2；(2）当k±2且k±5时，可使r(A)=3.(元111)1元11例3.7设A=且R(A)=3，求入的值.1-1111元1解（解法一）11入(元112(11111100元11元11-11-元11A=0元元011111元-11-元1-22111元元111.01-元1-元1(11元1元101-元2-1001-101-元D002-11-200元-11-元(oo0001-入(1-元)(2+元)(1-2)(3+2)由于r(A)=3，可知[(1- 元)(3+ 2)=0[1-几0解得入=-3（解法二）由于r(A)=3，则A=0，即

例 3.6 设 1 0 1 2 3 0 2 1 2 A k k               ，问 k 取何值时，可使 （1） r A( ) 2  ； （2） r A( ) 3  . 解 1 0 1 1 0 1 1 0 1 2 3 0 0 3 2 0 1 4 2 1 2 0 1 4 0 3 2 A k k k k k k                                          1 0 1 0 1 4 0 0 ( 2)( 5) k k k              故（1）当 ( 2)( 5) 0 k k    ，即 k  2 或 k  5 时，可使 r A( ) 2  ； （2）当 k  2 且 k  5 时，可使 r A( ) 3  . 例 3.7 设 111 1 1 1 1 1 1 111 A                  ，且 R A( ) 3  ，求  的值. 解 （解法一） 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 A                                                           1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 (1 )(2 ) 0 0 0 (1 )(3 )                                                     由于 r A( ) 3  ，可知 (1 )(3 ) 0 1 0            ， 解得  3. （解法二）由于 r A( ) 3  ，则 A  0 ，即

[元+31+3几+3元+3211111111元112121=(1+3)11元元-121-入21111111111000元-1=(α +3)=(α+3)(2-1)3 = 000元-100001-1可得入=-3或入=1.当入=-3时，将其代入矩阵可得(31111331111113111311020-2A=3111310021113000000001可得此时r(A)=3：当入=1时，将其代入矩阵可得1110100011A-001110000可得此时r(A)=1，故入=1舍去，因此入=-3[x +2x -2x,=0,例3.83间元取何值时齐次线性方程组2x-x+元x,=0,有非零解3x, +x -x, = 0,解（解法一）将系数矩阵化为行阶梯形(12-2)2-2(12-2(12-2)(130-55052-1元1-1-5A=(31-1)2元0001-1-1-51+4由于齐次线性方程组有非零解，故r(A)<3.为使r(A)<3必有-1=0，即入=1.故当元=1时齐次线性方程组有非零解（解法二）由于齐次线性方程组有非零解的充要条件为系数行列式D=0

1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 3) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1                    3 1 1 1 1 0 1 0 0 ( 3) ( 3)( 1) 0 0 0 1 0 0 0 0 1                可得  3 或  1. 当  3 时，将其代入矩阵可得 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 3 1 1 1 3 1 1 0 2 0 2 1 1 3 1 1 1 3 1 0 0 2 2 1 1 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 A                                        ， 可得此时 r A( ) 3  ； 当  1 时，将其代入矩阵可得 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 A                          可得此时 r A( ) 1  ，故  1 舍去，因此  3. 例 3.8 问  取何值时齐次线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 0, 2 0, 3 0,               x x x x x x x x x  有非零解. 解 （解法一） 将系数矩阵化为行阶梯形 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 3 1 1 0 5 5 0 5 5 3 1 1 2 1 0 5 4 0 0 1 A                                                           由于齐次线性方程组有非零解，故 r A( ) 3  .为使 r A( ) 3  必有   1 0 ，即  1. 故当  1 时齐次线性方程组有非零解. （解法二）由于齐次线性方程组有非零解的充要条件为系数行列式 D  0

即-212-2122-212D=22 -1 元=-3 1 -1=-0 -55=5(1-1)= 0,2-1元31-100-[2故当入-1=0时，也即元=1时，齐次线性方程组有非零解。小结：对含参数的线性方程组解的情况分析（1）方程个数与未知量个数相等时可以用系数行列式讨论，当系数行列式A0时，可用克莱姆法则求解（2）方程个数与未知量个数不等或未知量个数超过3时，一般采用将增广矩阵作初等行变换化为行阶梯形，然后再利用系数矩阵的秩和增广矩阵的秩的关系对参数讨论方程组是否有解，有解时求出解，例3.9设非齐次线性方程组x+2x-x-2x=02x -x2-x, +x4=13x +x-2x-x=a,问α取何值时，方程组（1）无解：（2）有解，并求出通解解因非齐次线性方程组的增广矩阵(12-1-210(12-2 /0)-1129115050-51-51(A : b)=22-1-1111000(3 1 -210-55155ia2-1a)0(1）当a-1+0，即a+1时，r(A)±r(Ab)，则方程组无解；（2）当α-1=0，即a=1时，r(A)=r（Ab)=2<4，则方程组有解，且有无穷多解此时32100:5512-1 -2 101-5151(A b)054400010o0000得方程组的通解为

即 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 3 1 1 0 5 5 5( 1) 0 3 1 1 2 1 0 0 1 D                      ， 故当   1 0 时，也即  1 时，齐次线性方程组有非零解. 小结：对含参数的线性方程组解的情况分析 （1）方程个数与未知量个数相等时可以用系数行列式讨论，当系数行列式 A  0 时， 可用克莱姆法则求解. （2）方程个数与未知量个数不等或未知量个数超过 3 时，一般采用将增广矩阵作初等 行变换化为行阶梯形，然后再利用系数矩阵的秩和增广矩阵的秩的关系对参数讨论方程组是 否有解，有解时求出解. 例 3.9 设非齐次线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 0, 2 1, 3 2 ,                  x x x x x x x x x x x x a 问 a 取何值时，方程组（1）无解；（2）有解，并求出通解. 解 因非齐次线性方程组的增广矩阵   1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 2 1 1 1 1 0 5 1 5 1 0 5 1 5 1 3 1 2 1 0 5 1 5 0 0 0 0 1 A b aaa                                              （1）当 a  1 0 ，即 a 1 时， r A r A b ( )    ，则方程组无解； （2）当 a  1 0 ，即 a 1 时， r A r A b ( ) 2 4      ，则方程组有解，且有无穷多 解. 此时   3 2 1 0 0 5 5 1 2 1 2 0 1 1 0 5 1 5 1 0 1 1 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A b                                    得方程组的通解为