y=f(x,y)型(不显含未知函数的微分方程) 解法:令y=p(x),则 dp= p 方程变形为p'=∫(x,p) 解此一阶微分方程可得P=φ(x,C1 dy dx 两边积分得y=(x,C1)dx+C
二. y = f (x, y)型 (不显含未知函数的微分方程) 解法：令 y’ =p(x), 则 p x p y = = d d 方程变形为 p = f (x, p) 解此一阶微分方程可得 即 ( , ) d d x C1 x y = 两边积分得 = 1 d + 2 y (x,C ) x C p= (x, C1 )
Example2.求方程xy4)-y4=0的通解 Solution, iy(4)=p(x), ya=p'(x) 代入原方程x-p=0, 解线性方程,得P=C1x即y(=C1x, 两端积分,得y-2 =C1x2+C2, y-120 x5+-2x3+3x2+C,x+C 2 原方程通解为y=d1x3+d2x3+d2x2+d1x+d
0 . 求方程 xy(5) − y (4) = 的通解 Solution. ( ), (4) 设 y = p x 代入原方程 xp − p = 0, 解线性方程, 得 p = C1x 两端积分,得 原方程通解为 ( ) (5) y = p x , 1 (4) 即 y = C x , 2 1 2 2 y = C1 x + C , , 120 6 2 4 5 1 5 2 3 3 2 x C x C C x C x C y = + + + + 4 5 2 3 3 2 5 y = d1 x + d x + d x + d x + d Example 2
y"=f(y,y)型(不显含自变量的微分方程) 解法:令y=p(y),则 dp dp d d P 方程变为 p ay =f(, p) 解此一阶微分方程得p=g(v,C1 d 即 =q(y,C1) dx 分离变量并两边积分得 d dx=x+o P(y, CD K
三. y = f ( y, y)型 (不显含自变量的微分方程) 解法： 令 y'=p(y), 则 y p p x y y p x p y d d d d d d d d "= = = 方程变为 d ( , ) d p p f y p y = 解此一阶微分方程得 p= (y, C1 ) 即 ( , ) d d C1 y x y = 分离变量并两边积分得 2 1 d ( , ) d x x C y C y = = +
Example3.求解微分方程2y"+y2=0 Solution.令yp(),则y=p dp d ①+P=0 2yp dy 分离变量得 d P y In| pl==In l y|+In/C1 2
Example 3. 求解微分方程 2yy''+y' 2=0 Solution. 0 d d 2 2 + p = y p yp 分离变量得 y y p p 2 d d = − 1 ln | | ln 2 1 ln | p |= − y + C 即 y C p 1 = 令 y'=p(y), 则 y p y p d d "=